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1、1 第一部分 高级宏观经济学的数学基础 高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优 化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。 动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论和动态规划。 第三第三讲讲 动态规划动态规划 前面两节介绍了用变分法和最优控制理论（即极大值原理）求解动态最优化问题 （我们主要介绍的是连续时间问题）。同样，动态最优化问题也可以用动态规划方法 来求解。动态规划是美国数学家贝尔曼 1957 年提出的，同最优控制论一样，动态规划 也被说成现代变分法。 动态规划包括离散时间和连续时间两种情形，它在解决离散时间问题时较为方 便，我们这里重
2、点讲离散时间下的方法。此外，动态规划可以解决确定性条件下和不 确定条件下的动态最优化问题，与变分法和最优控制相比，动态规划是求解不确定下 动态最优化问题很方便的工具，但由于要涉及大量其他数学工具以及课程时间所限， 我们这里只介绍解决确定性问题的方法。 一、动态规划原理与贝尔曼方程一、动态规划原理与贝尔曼方程 （一）动态规划问题的特点（一）动态规划问题的特点 2 （二）贝尔曼方程（二）贝尔曼方程 3 4 二、离散时间二、离散时间无无限界期的动态规划限界期的动态规划 贝尔曼贝尔曼方程方程的的形式形式 5 动态动态规划规划的的解解 三三、经济学经济学应用应用：新古典新古典增长增长模型模型中中的的消费
3、者消费者最优化最优化问题问题 模型设定 消费者储存资本并进行投资，即消费者的财富是以资本的形式表示的。在每一期 里，消费者都会把资本租给厂商并向厂商出售自己的劳动。假设劳动并不会给消费者 带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是 1 单位。消费者实际上 就相当于在求解如下一个跨期最优化问题： 6 1 , 0 max( ) tt t t c k t U c s.t. 1 (1) ttttt ckwr k 0 lim0 (1) t t t tt k r 这里， 0 k给定， t w是工资率， t r是资本的租金率。 如果把消费者的这个最优化问题用贝尔曼方程的方法表示出来，为 1 1
4、, ( )max ( )() tt ttt c k v ku cv k s.t. 1 (1) ttttt ckwr k （1） 0 lim0 (1) t t t tt k r 把约束条件（1）代入目标函数中，有 1 11 ( )max(1)() t tttttt k v ku wr kkv k （2） 式（2）的一阶条件（对 1t k 求偏导）是 11 (1)()0 ttttt u wr kkv k （3） 让式（2）两边对 t k求偏导，并应用包络定理，可以得到 1 ( )(1)(1) tttttt v ku wr kkr （4） 把式（4）往后挪一期，有 111121 ()(1)(1) tttttt v ku wrkkr （5） 用式（5）代替式（3）中的 1 () t v k ，可以得到 11 ( )()(1)0 ttt u cu cr 该方程就是实现消费者最优的欧拉方程。
