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1、【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学 5.4正、余弦定理及其应用课时提能训练 理 新人教A版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分,共36分)1.(2012南宁模拟)在ABC中,ab10c2(sinAsinB10sinC),A60,则a()(A)(B)2(C)4(D)不确定2.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边长,若0,则ABC()(A)一定是锐角三角形 (B)一定是直角三角形(C)一定是钝角三角形 (D)是锐角或钝角三角形3.若三角形三边长的比为578,则它的最大角和最小角的和是()(A)90 (B)120 (C)135 (D)1504. (2012玉林模拟)在AB
2、C中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2b2bc,sinC2sinB,则A()(A)30(B)60(C)120(D)1505.(预测题)某人在C点测得某塔在南偏西80,塔顶仰角为45,此人沿南偏东40方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30,则塔高为()(A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米6.一船向正北方向匀速航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60方向,另一灯塔在船的南偏西75方向,则这只船的速度是每小时()(A)5海里 (B)5海里 (C)10海里 (D)10海里二、填空题(每小题6分,共18分
3、)7.ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若sinA,sinB,sinC成等比数列,且c2a,则cosB.8.在ABC中,A30,AB2,BC1,则ABC的面积等于.9.(2012桂林模拟)如图,在四边形ABCD中,已知ADCD,AD10,AB14,BDA60,BCD135,则BC的长为.三、解答题(每小题15分,共30分)10.(2011安徽高考)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a,b,12cos(BC)0,求边BC上的高.11.(易错题)据气象台预报,距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成,并以每小时30 km的速度向北偏西30角的方向移动,在距台
4、风中心270 km及以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.【探究创新】(16分)已知函数f(x)cos(2x)sin2x,(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期;(2)设锐角三角形ABC的三内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c,cosB,f(),求b.答案解析1.【解题指南】利用正弦定理得到的值,再代入2R得到a的值.【解析】选A.由已知及正弦定理得2,a2sinA2sin60,故选A.2.【解析】选C.由已知及余弦定理得cosC0,C是钝角,故选C.3.【解析】选B.设三边长为5x,7x
5、,8x,最大的角为C,最小的角为A.由余弦定理得:cosB,所以B60,所以AC18060120.4.【解题指南】由题目中已知等式的形式,利用正、余弦定理求解.【解析】选A.由及sinC2sinB,得c2b,cosA.A为ABC的内角,A30.5.【解题指南】作出图形确定三角形,找到要用的角度和边长,利用余弦定理求得.【解析】选C.如图,设塔高为h,在RtAOC中,ACO45,则OCOAh.在RtAOD中,ADO30,则ODh,在OCD中,OCD120,CD10,由余弦定理得:OD2OC2CD22OCCDcosOCD,即(h)2h21022h10cos120,h25h500,解得h10或h5(
6、舍去).6.【解析】选C.如图,依题意有BAC60,BAD75,所以CADCDA15,从而CDCA10海里,在直角三角形ABC中,可得AB5海里,于是这只船的速度是10(海里/小时).7.【解析】sinA,sinB,sinC成等比数列,sin2BsinAsinC,由正弦定理得,b2ac,由余弦定理得cosB.答案:8.【解析】由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos30,AC22AC30.AC.SABCABACsin302.答案:【方法技巧】正、余弦定理求解面积问题(1)当给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长,求三角形的面积时,主要利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式,在
7、求解过程中往往利用三角公式进行恒等变形.(2)当以向量为背景考查正、余弦定理的应用时,关键是把三角形的面积用向量表示出来,用正余弦定理求出边长.9.【解析】在ABD中,设BDx,则BA2BD2AD22BDADcosBDA,即142x2102210xcos60,整理得x210x960,解之得x116,x26(舍去).由正弦定理得,BCsin308.答案:810.【解析】由12cos(BC)0和BCA,得12cosA0,cosA,sinA,再由正弦定理,得sinB.由ba知BA,所以B不是最大角,B,从而cosB.由上述结果知sinCsin(AB)().设边BC上的高为h,则有hbsinC.【变式
8、备选】在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,若(abc)(sinAsinBsinC)3asinB,求C的大小.【解析】由题意可知,(abc)(abc)3ab,于是有a22abb2c23ab,即,所以cosC,所以C60.11.【解题指南】设B为台风中心,则B为AB边上的动点,SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断,则需表示SB,可设台风中心经过t小时到达B点,则在ABS中,由余弦定理可求SB.【解析】如图,设台风中心经过t小时到达B点,由题意:SAB903060,在SAB中,SA300,AB30t,SAB60,由余弦定理得:SB2SA2AB2
9、2SAABcosSAB3002(30t)2230030tcos60,若S岛受到台风影响,则应满足条件:|SB|270,即SB22702,化简整理得t210t190,解之得5t5,所以从现在起,经过(5)小时S岛开始受到影响,(5)小时后影响结束,持续时间:(5)(5)2(小时).所以S岛会受到台风影响,从现在起经过(5)小时开始受到台风影响,且持续时间为2小时.【探究创新】【解析】(1)f(x)cos(2x)sin2xcos2xcossin2xsincos2xsin2xcos2xsin2x,最小正周期T,令2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),f(x)的单调递减区间是k,k(kZ).(2)由(1)f(x)sin2x得:f()sinC,sinC,又cosB,sinB,即b,故b.- 6 -