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1、【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.5空间的距离课时提能训练 理 新人教A版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知平面，a，点P到a的距离是2，到的距离是1，则下列结论不正确的是()(A)P(B)点P到的距离是(C)P与a确定的平面与所成的锐二面角是30(D)P与a确定的平面与所成的锐二面角是302.(2012桂林模拟)在正方形ABCD中，AB4，沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角BACD，则点B到直线CD的距离为()(A)2(B)3(C)2(D)223.三棱锥SABC中，SA底面ABC，SA4，AB3，D为AB的中点，ABC90，则点D到面
2、SBC的距离等于()(A)(B)(C)(D)4.在一个棱长为5 cm的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1 cm，2 cm，3 cm，则它到第四个面的距离为()(A)1 cm (B)2 cm (C)3 cm (D)4 cm5.(2012防城港模拟)如图，在正四棱锥PABCD中，设d1为直线BC到平面PAD的距离，d2是点B到直线PA的距离，d3是直线PB与AD间的距离，则它们的大小关系是()(A)d1d2d3 (B)d2d1d3(C)d2d3d16.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且A1ADA1AB60，则侧棱AA1和截面B1D1DB
3、的距离是()(A)a (B)a (C)a (D)a二、填空题(每小题6分，共18分)7.在三棱锥PABC中，PAPBPC2，ABBC，AB1，BC，则点P到平面ABC的距离为.8.已知平面与平面交于直线l，P是空间一点，PA，垂足为A，PB，垂足为B，且PA1，PB2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到l的距离为.9.(易错题)边长为1的等边三角形ABC，沿BC边上高线AD折起，使得折后二面角BADC为60，则点A到BC的距离为，点D到平面ABC的距离为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011新课标全国卷改编)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB
4、60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)设PDAD1，求D到平面PBC的距离.11.(预测题)如图所示，ABC与DBC是有公共底边BC的两个等腰三角形，二面角ABCD为60，BC16，ABAC17，BDC90，求：(1)A点到BC边的距离；(2)A、D两点间的距离；(3)A点到平面BCD的距离；(4)AD与BC间的距离.【探究创新】(16分)如图，平面EAD平面ABCD，AED为正三角形，四边形ABCD为矩形，F是CD的中点，EB与平面ABCD成30角.(1)当AD长度为何值时，点A到平面EFB的距离为2？(2)二面角ABFE的大小是否与AD的长度有关？请说明.答案解析
5、1.【解析】选C.如图所示，交线为a，PA于A，PBa于B，则PA1，PB2，得AB(即P到的距离)，则PBA30，且PBA是点P与a所确定的平面与平面所成的锐二面角的平面角，故点P与a所确定的平面与成的锐二面角为60.2.【解题指南】若正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则ACBD，垂足为O.注意折叠的过程中DOAC，BOAC，BDAC，可借助线面垂直作出点B到直线CD的距离.【解析】选C.设正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，易证BOD90，作OECD于E，E是CD的中点，又BO平面ACD，BECD，BE是点B到直线CD的距离.在RtBOE中，求得BE2.3.【解析】选C.
6、如图，过A作AESB于E，过D作DFSB于F，SA底面ABC，SABC，ABBC，ABSAA，BC平面SAB，BCAE.又AESB，SBBCB，AE平面SBC，DFAE，DF平面SBC，DF的长度即为D点到平面SBC的距离.SA4，AB3，SB5，AE，DF.4.【解析】选D.棱长为5 cm的正四面体的高为h10，将P点与各顶点连结起来，则将正四面体分成了四个三棱锥，其中底面是全等的三角形，高分别为1,2,3，h1，设S为正四面体一个面的面积，则S10S(123h1)解得h14.5.【解析】选B.如图所示，设G，F分别是BC和AD边上的中点，则PGBC，PFAD，BC平面PFG，作GQPF于Q
7、，由于ADBC，AD平面PBC.AD与平面PBC的距离即是AD与PB的距离.由正四棱锥的性质，GQ即是直线BC与平面PAD的距离，又等于异面直线PB和AD间的距离，即d1d3.又B点到平面PAD的距离即是直线BC到平面PAD的距离，由平面外一点到平面内任意一点的距离中最小的值即是该点到这一平面的距离.B点到直线PA的距离大于B点到平面PAD的距离，即d2d1.正确选项为B.6.【解析】选A.分别连结AC、A1C1交BD、B1D1于O、O1，连结OO1，A1O，A1B，A1D，则B1D1A1O1.BDB1D1，BDA1O1.又四棱柱的底面边长与侧棱均为2a，且A1ADA1AB60，A1AA1BA
8、1D.A1在底面ABD上的射影为ABD的外心.ABD为等腰直角三角形，O为A1在平面ABD上的射影，即A1O平面ABD，A1OBD.BD平面A1OO1，平面B1D1DB平面A1OO1.过A1作A1EOO1，则A1E平面B1D1DB.即A1E为所求的距离，易求得A1Ea.7.【解析】PAPBPC，P在平面ABC上的射影O为ABC的外心.又ABC90，O为AC的中点，P到平面ABC的距离为PO.答案：8.【解析】设PA、PB确定的平面PAB与直线l交于点O，连结AO，BO，PO.PA，PB，平面与平面交于直线l，PAl，PBl.l平面PAB.PO平面PAB，lPO.PO就是P到直线l的距离.由题意
9、，点A在内的射影与点B在内的射影重合即为O点.PAOB为矩形，PO.答案：9.【解析】折后如图，BDC60，设E为BC的中点，连结AE、DE，则在RtADE中，AE即为点A到BC的距离，AD，DE，所以由勾股定理得AE.设D到平面ABC的距离为h，由VABDCVDABC得()3sin60()2h，求得h，即点D到平面ABC的距离为.答案：10.【解题指南】第(1)问，通过证明BD平面PADPABD，证明BDAD时，可利用勾股定理BD2AD2AB2，第(2)问，在RtPDB中，可证PB边上的高即为三棱锥DPBC的高，其长度利用等面积法可求.【解析】(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得B
10、DAD从而BD2AD2AB2，故BDAD；又PD底面ABCD，可得BDPD，又ADPDD，所以BD平面PAD.故PABD.(2)过D作DEPB于E，由(1)知BCBD，又PD底面ABCD，所以BC平面PBD，而DE平面PBD，故DEBC，所以DE平面PBC.由题设知PDAD1，则BD，PB2，由DEPBPDBD得DE，即点D到平面PBC的距离为.【方法技巧】点到平面的距离的求解方法求点到平面的距离是立体几何在高考中常考查的内容，而直线与平面的距离、两个平行平面的距离通常要转化为点面距离求解，所以掌握点面距离的求法是非常必要的，通常的方法有：(1)直接法：由点到平面的距离的定义，求解的关键是充分
11、利用图形的性质，确定垂足的位置，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，借助面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而求解.(2)间接法(转化法)等积变换：基本思路是直接难以找到已知点在平面上的射影，可利用三棱锥的底面与顶点的轮换性，将点到平面的距离转化为求三棱锥的高.平行转化法：基本思路是直接难以找到已知点在平面上的射影，但过此点可以找到已知平面的平行线，利用平行线上任意一点到平面的距离都相等这一性质，将所求点到平面的距离转化为另一特殊点到已知平面的距离.在解决这类问题时，一要步骤完整，二要运算准确.【变式备选】如图，已知四边形ABCD是矩形，ABa，ADb，PA平面ABCD，PA2c，
12、Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.【解析】(1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足，连结QE.QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBD，QE的长为Q到BD的距离.在矩形ABCD中，ABa，ADb，则AE.在RtQAE中，QAPAc，则QE，Q到BD的距离为.(2)方法一：平面BQD经过线段PA的中点Q，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离.在AQE中，作AHQE，H为垂足，BDAE，BDQE，BD平面AQE，BDAH，AH平面BQD，AH为点A到平面BQD的距离.在RtAQE中，AQc，AE，AH，P到平面BQD的距离为.方法二：设点A到平面BQ
13、D的距离为h，由VABQDVQABD，得SBQDhSABDAQ，则h.11.【解析】如图所示，取BC的中点E，连结DE，AE.CDBD，DEBC.又ABAC，AEBC，AED是二面角ABCD的平面角.AED60.又BDC90，BC16，DEECEB8.(1)AE15，A点到BC边的距离是15.(2)在AED中，由余弦定理得AD2AE2ED22AEEDcos60152822158169，即AD13.A、D两点间距离是13.(3)BC平面AED，平面AED平面BCD.作AFED于F，AF平面BCD.AEEDsinAEDEDAF，AFAEsinAED15.A点到平面BCD的距离是.(4)过E作EGAD于G，BC平面AED，BCEG，EG的长度是AD与BC的距离.ADEGEDEAsinAED815sin60，EG.故AD与BC间的距离是.【变式备选】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动.(1)证明：D1EA1D；(2)当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；(3)AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.【解析】(1)连结AD1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，则四边形AD
