《【精品】高中数学 6.5含绝对值的不等式（第二课时） 大纲人教版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精品】高中数学 6.5含绝对值的不等式（第二课时） 大纲人教版必修（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【精品】高中数学 6.5含绝对值的不等式（第二课时） 大纲人教版必修6.5.2 含有绝对值的不等式(二)教学目标（一）教学知识点1.含有绝对值不等式的性质定理及其推论.2.含有绝对值不等式的证明(或解法).(二)能力训练要求通过例题及练习进一步掌握含有绝对值不等式的定理和推论,并能应用这些性质解决有关问题.进一步提高综合运用数学知识的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生的化归(或转化)的数学思想.2.提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力.3.培养创新意识,提高学生的数学素质.教学重点1.掌握一些含绝对值不等式的证明方法和解法.2.解含绝对值的不等式的主要方法是将不等式中的绝对值符号
2、化去.它运用学过的含绝对值不等式的性质:|x|a(a0)xa或x-a;|x|0) -ax|y|x2y2.教学难点含绝对值的不等式,在解它或证它时,关键是运用转化思想,依照基本方法步骤化简,要特别注意保证变形过程中的等价性.教学方法讲练结合法即通过例题讲解,强化学生训练,加深学生对含有绝对值不等式知识的理解,进一步提高学生综合应用数学知识的能力.教具准备幻灯片一张记作6.5.2 A课堂练习:1.求证:(1)|x+1|+|x-1|2;(2)|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|6;(3)2|x+2|+|x+1|1(当且仅当x=-2时,“=”号成立).2.已知f(x)=,当|a|b|时,求证
3、:(1)|a+b|f(a)-f(b)|.3.求证:|a|-|b|(ab).4.若|x|1,|y|1,|z|1,求证:|1.5.已知a,bR,求证:.教学过程.课题导入上一节课,我们学习了含有绝对值的不等式的性质定理及其推论的简单应用.(学生回顾叙述,教师板书定理及其推论内容,即:（1)|a|-|b|a+b|a|+|b|;（2)|a1+a2+a3|a1|+|a2|+|a3|;（3)|a|-|b|a-b|a|+|b|.今天,我们进一步巩固掌握上述性质,并能应用这些性质完成含有绝对值不等式的证明(或解法),提高大家分析问题、解决问题以及综合运用数学知识的能力.讲授新课我们来看下面的例子.例1已知|x
4、-a|,0|y-b|,0yA,求证|xy-ab|.分析:本题的关键在于根据结论左边如何“拼凑”出(x-a)与(y-b),再运用和差的绝对值与绝对值的和差间的关系.即创设利用已知条件或已知定理的机会.证明:|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|y|x-a|+|a|y-b|a+|a|=,即|xy-ab|.师生共析本题是为将来学习极限证明作的准备.本题在证明过程中运用了凑的技巧,望注意体会.在今后的学习过程当中,要习惯用“拼凑”的方法,要很好掌握.例2已知|a|1,|b|1,求证:|1.分析:初看此题,无法下手,因为题目中含有绝对值符号,不妨运用平方法先去掉绝对值
5、符号,再加以证明,即运用“|x|0)x2a2”,尝试分析法证明.证明： a2+2ab+b20(1-a2)(1-b2)0由|a|1,|b|1,可知a21,b20.即|1成立.师生共析用分析法证不等式，有时变形的每一步都是充要条件，这实际是先寻找原不等式成立的必要条件，再证明不等式.例3设a,bR,且ab,求证:|a-b|.分析:本题既含绝对值又含根式,直接入手证明比较困难,考虑运用分析法;本题含有根式,考虑其根式的特殊性(有理化因式的灵活应用),也可采用放缩法证明.证法一:欲证|a-b|成立,只需证明()2(a-b)2,即:1+a2-2 +1+b2a2-2ab+b21+ab.只需证:(1+ab)
6、2(1+a2)(1+b2)即:1+2ab+a2b22ab.a,bR且ab,显然a2+b22ab成立.故原不等式成立.证法二:| |=| (注意:a,bR且ab)故|a|,;(2)若ab,则|a|+|b|a+b|.例4已知sin+sin=1,求证:|cos+cos|.分析:本题直接证明困难,考虑运用反证法.证明:假设|cos+cos|成立,则:两边同时平方得:cos2+cos2+2coscos 3 由已知得:sin2+sin2+2sinsin=1 由+得:2+2cos（-)4cos（-)1,这与cos（-)1矛盾.故假设不成立,原不等式成立.师生共析对直接证明较困难的题目,若运用反证法,则相当于
7、增加了一个“条件”(即假设),因而降低了对命题推理的难度.本例中当增加的“条件”|cos+cos|(即假设后)结合已知条件sin+sin=1及正、余弦之间的关系式,使证题思路豁然开朗.课堂练习打出幻灯片6.5.2 A,根据学生情况及特点,分成若干个小组进行练习,选出有代表性的学生答案(让学生最好写在幻灯片上),教师利用幻灯仪作概括总结,以提高学生分析问题和解决问题的能力.附习题和答案:1.求证:(1)|x+1|+|x-1|2;(2)|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|6;(3)2|x+2|+|x+1|1(当且仅当x=-2时,“=”号成立).证明:(1)|x+1|+|x-1|(x+1)
8、-(x-1)|=2.(2)|x+1|+|x-1|(x+1)-(x-1)|=2.当且仅当(x+1)(x-1)0,即-1x1时“=”成立;又|x+2|+|x-2|(x+2)-(x-2)|=4,当且仅当(x+2)(x-2)0,即-2x2时“=”号成立.|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|6,当且仅当即-1x1时“=”号成立.(3)|x+2|+|x+1|(x+2)-(x+1)|=1,当且仅当(x+2)(x+1)0,即-2x-1时“=”号成立;又|x+2|0,当且仅当x=-2时，“=”号成立,2|x+2|+|x+1|1,当x=-2时，“=”号成立.2.已知f(x)=,当|a|b|时,求证:(1
9、)|a+b|f(a)-f(b)|.证明:(1)| a+b|a|+|b|=|f(a)+f(b)|.(2)由(1)得:|a+b|b|时,又a0,从而|a|0,有|-1-|b|(|b|0)=|a|-|a|-|b|.综上所述有:|a|-|b|(ab).4.若|x|1,|y|1,|z|1,求证：|1.证明：所证不等式|x+y+z+xyz|1+xy+yz+zx|(x+y+z+xyz)2(1+xy+yz+zx)2(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)(xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1)0(x+1)(y+1)(z+1)(x-1)(y-1)(z-1)0(x2-1)(y2-1)(z2-1)0由于|x
10、|1,|y|1,|z|1从而x21,y21,z21,于是(x2-1)(y2-1)(z2-1)0成立,所以原不等式成立.5.已知a,bR,求证:.证明:原不等式|a+b|(1+|a|)(1+|b|)|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)|a+b|(1+|b|)+|a+b|a|(1+|b|)|a|(1+|b|)+|a|(1+|b|)|a+b|+|b|(1+|a|)+|b|a+b|(1+|a|)|a+b|+|a+b|b|a|+2|ab|+|b|+|b|a+b|+|ab|a+b|a+b|a|+|b|+2|ab|+|ab|a+b|.由于|a+b|a|+|b|成立,
11、显然最后一个不等式成立,从而原不等式成立.以上证明是最基本的方法,但过程繁琐冗长,利用放大技巧证明要简捷得多,证明如下:|a+b|a|+|b|a|+|b|-|a+b|0,.课时小结本节是在绝对值的基本概念和基础知识的基础上,学习关于和差的绝对值与绝对值的和差的性质(即定理及其推论1,推论2),进一步学习含有绝对值的不等式的解法及其证明方法.其学习重点是定理性质及其应用,难点是定理的证明及应用.解含绝对值的不等式的关键是要掌握将含有绝对值的不等式等价地转化为不含绝对值的不等式,其转化方法主要有定义法、公式法、平方法.证明含有绝对值的不等式的关键是灵活运用定理及其推论和有关性质以及证明不等式的基本方法.课后作业(一)课本P22习题6.5 4、5(二)1.复习回顾本章基本内容.2.对本章各部分内容进行总结.板书设计6.5.2 含有绝对值的不等式(二)一、基本性质 例题1.|a|-|b|ab|a|+|b|.课堂练习2.|a1+a2+a3|a1|+|a2|+|a3|. 课时小结二、性质应用课后作业 7 / 7
