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1、.,1,第3章 信号的描述方法,3.1 信号的分类 3.2 信号的时域描述 3.3信号的频域描述 3.4 随机信号的描述,返回,.,2,在工程和科学研究中,经常要对许多客观存在的物体或物理过程进行观测,就是为了获取有关研究对象状态与运动等特征方面的信息。被研究对象的信息量往往是非常丰富的,测试工作是按一定的目的和要求,获取信号中感兴趣的、有限的某些特定信息,而不是全部信息。为了达到测试目的,需要研究信号的各种描述方式,本章介绍信号基本的时域和频域描述方法。,.,3,3.1 信号的分类,信号按数学关系、取值特征、能量功率等,可以分为确定性信号和非确定性信号、连续信号和离散信号、能量信号和功率信号
2、等。,.,4,3.1.1 分类方法一:确定性信号和随机信号,.,5,1.确定性信号:能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。,m,x(t),0,x(t),f0,A,t,k,.,6,周期信号:经过一段时间间隔重复出现的信号,无始无终(时域无穷)。典型的如正(余)弦信号。,周期:满足上式的最小T 值。 频率:周期的倒数,f = 1/T,单位:(Hz 赫兹) 圆频率/角频率:频率乘以2 f, 即 =2 f =2 /T 实际应用中,n 通常取为正整数。,数学表达:,信号的分类,T0 = 2 / 0 =1/ f0,.,7,(a) 周期信号之-正弦信号:,这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信
3、号。,.,8,(如周期方波、周期三角波等)由多个乃至无穷多个频率成分(频率不同的谐波分量)叠加所组成,叠加后存在公共周期。,x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t,(b) 周期信号之-复杂周期信号,.,9,(a)非周期信号之-准周期信号,非周期信号 能用明确的数学关系进行描述,但又不具有周期重复性的信号,称为非周期信号。它分为准周期信号和瞬态信号两类。,也由多个频率成分叠加而成,但不存在公共周期(本质上不属于周期信号)。,.,10,是在有限时间段存在,或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号,又称为瞬变非周期信号。,(b)非周期信号之-瞬态信号,.,11,2.随机性信号:,
4、不能准确预测信号未来瞬时值,也无法用准确数学关系式来描述的信号,称为随机信号,也称不确定性信号。,特点: 非确定性信号。 具有不重复性(在相同条件下,每次观测的结果都不一样)、不确定性、不可预估性。 采用概率和统计的方法进行描述。,t,0,x(t),.,12,3.1.2 分类法二:连续信号和离散信号,若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的,则称为连续信号。若独立变量取离散值,则称为离散信号。,.,13,.,14,3.1.3分类法三:能量信号和功率信号,如周期信号、准周期信号、随机信号等。,信号的瞬时功率:,信号能量:,能量(有限)信号:,功率(有限)信号: 信号在有限区间(t1, t2)上的
5、平均功率:,如各类瞬变信号。,.,15,信号的时域描述 以时间为独立变量,描述信号随时间的变化特征, 反映信号幅值随时间变化的关系。 波形图:时间为横坐标的幅值变化图。 优点:形象、直观。 缺点:不能明显揭示信号的内在结构(频率组成关系)。,信号的描述分时域描述与频域描述两大类方法 。,3.2 信号的时域描述,.,16,信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换,对信号进行变换(分解),以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。 频谱图:以频率为横坐标的幅值、相位变化图。 幅值谱:幅值-频率图 相位谱:相位-频率图 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小,描述更简练、深刻
6、、方便。,.,17,信号时域与频域描述的关系 时域描述与频域描述是等价的,可以相互转换, 两者蕴涵的信息相同; 时域描述与频域描述各有用武之地; 将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析; 采用频谱图描述信号,需要同时给出幅值谱(amplitude spectrun)和相位谱(phase spectrum)。,.,18,3.2.1 时域信号的合成与分解,1.稳态分量与交变分量; 信号可以分解为稳态分量与交变分量之和,如图所示。即,.,19,2.偶分量与奇分量; 信号可以分解为偶分量与奇分量之和,如图所示。即 偶分量关于纵轴对称,奇分量关于原点对称。 信号分解为奇、偶分量之和,.
7、,20,3.实部分量与虚部分量; 对于瞬时值为复数的信号可分解为实、虚两部分之和,即 4.正交函数分量,信号,可以用正交函数集来表示,即,各分量正交的条件为,各分量的系数,满足正交条件的函数集有:三角函数、复指数函数等。,.,21,常用统计参数:均值、均方值和方差。,均值(mean)反映信号的静态分量,即常值分量:,均方值(mean square)反映信号的能量或强度:,3.2.2 信号的统计特征参数,方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况:,三者关系,.,22,狄里赫利(Dirichet)条件: 信号(函数)在一个周期内,若存在间断点,则间断点的数目为有限个。 信号(函数)在一个
8、周期内,极大值和极小值数目为有限个。 信号(函数)在一个周期内,信号绝对可积,即,3.3.1 周期信号的频域描述 (1)三角函数展开式 (傅里叶级数法),3.3 信号的频域描述,.,23,其中,则可以展开为,傅里叶系数,.,24,式中,进一步,可以改写为,.,25,例:求方波信号的频域描述(傅里叶级数法),T0,T0,T0 2,T0 2,0,t,x(t),.,26,解:信号x(t)为奇函数,在一个周期内对奇函数积分结果为0,故有:,.,27,,,4A ,4A 3,4A 5,0,A(),0,30,50,0,0,30,50, (),/2,幅值谱,相位谱,.,28,.,29,周期方波信号的时、频域描
9、述,.,30,(2)复指数展开式,所以:,欧拉公式,令:,.,31,(n=0,1,2,),信号的描述,其中:,故用统一的公式描述傅里叶级数的复数形式为:,.,32,按实频谱和虚频谱形式,幅频谱和相频谱形式,幅频谱图:| Cn | - 实频谱图: CnR - 虚频谱图: CnI - 相频谱图: n - ,信号的描述,.,33,例:画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。,解:,C-1 = 1/2,C1 = 1/2,Cn = 0(n=0, 2, 3, ),C-1 = j/2,C1 = -j /2,Cn = 0(n = 0, 2, 3, ),.,34,单边幅频谱,单边幅频谱,双边幅频谱,双边幅频谱,.,
10、35,几点结论,复指数函数形式的频谱为双边谱( 从 - 到 +),三角函数形式的频谱为单边谱( 从 0 到 +)。,两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系:,双边幅值谱为偶函数,双边相位谱为奇函数,一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱 总是偶对称的,虚频谱总是奇对称的。,.,36,综上所述,周期信号频谱的特点如下: 周期信号的频谱是离散谱; 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上,基波频率是诸分量频率的公约数; 复杂周期信号展开成傅里叶级数后,在频域上是无限的。工程上常见的周期信号,其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。,信号的描述,.,37,3.3.2 非周
11、期信号的频域描述,瞬变信号例 参见下页,频率之比为有理数的多个谐波分量,其叠加后由于有公共周期,是周期信号。 当信号中各个频率比不是有理数时,则信号叠加后是准周期信号(属非周期信号)。 一般非周期信号是指瞬变信号。,.,38,非 周 期 信 号,准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱,瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零,.,39,(1)傅里叶变换 (非傅里叶级数),非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。,谱线无限靠近,变为连续谱 。,谱线长度:,此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。 信号存在就必然含有一定的能量,无论信号怎样分解
12、,其所含总能量应当不变。 无论周期增大到何种程度,信号能量沿频率域的分布特征总存在,即非周期信号的频谱依然存在。,.,40,设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为,其中:,T0时, = 0 0,n0 ,Cn0。 但 CnT0 存在:,信号的描述,.,41,Cn表示n0(即)处的频谱值,而 反映了单位频带的频谱值(0为谱线间隔),称为非周期信号的频谱密度(spectrum density)函数,简称频谱函数,它反映了信号能量沿频域的分布状况。 若以 的值为高、以间隔0为宽画一个小矩形,则该小矩形的面积等于 = n0频率处的频谱值Cn(n0)。,信号的描述,.,42,信号的描述,.,43,
13、傅里叶变换(FT),傅里叶逆变换(IFT),以,代入得,记为:,.,44,用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为,非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似,但是两者量纲不同。 为信号幅值的量纲。 为信号单位频宽上的幅值,是频谱密度函数。工程测试中为方便,仍称为频谱。,.,45,例:矩形窗函数的频谱(属非周期、瞬态信号,区别方波),W(f)中 T 称为窗宽,,森克函数,通常称窗函数,.,46,W(f)函数只有实部,没有虚部。,sinc 以2为周期并随的增加作衰减振荡。 sinc是偶函数,在n(n=1, 2, )处其值为0。,信号的描述,.,47,非周期信号频谱的特点,基频无限小,包含了从 0
14、 的所有频率分量。,频谱连续。,|X()|与|Cn|量纲不同。|Cn|具有与原信号幅 值相同的量纲,|X()|是单位频宽上的幅值。,非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。,.,48,(2) 傅里叶变换的主要性质,积 分,x(t t0),时 移,频域微分,x(kt),尺度变换,时域微分,x(-f),X(t),对 称 性,X1(f)X2(f),x1(t) x2(t),频域卷积,AX(f)+bY(f),ax(t)+by(t),线性叠加,X1(f) X2(f),x1(t)x2(t),时域卷积,实奇函数,虚奇函数,X*(-f),x*(t),共 轭,虚偶函数,虚偶函数,X(-f),x(-t),翻 转,虚奇
15、函数,实奇函数,X(f f0),频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性 质,.,49,频域分析:傅里叶变换,自变量为 j w 复频域分析:拉普拉斯变换, 自变量为 S = +j w Z域分析:Z 变换,自变量为z,频域、复频域、Z域的关系,补充预备知识:,.,50,奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数,则ImX(f)=0,X(f)为实偶函数。 若x(t)为实奇函数,则ReX(f)=0,X(f)为虚奇函数。 若x(t)为虚偶函数,则ReX(f)=0,X(f)为虚偶函数。 若x(t)为虚奇函数,则ImX(f)=0,X(f)为实奇函数。,若x(t)为实函
16、数,则 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f ) = - ImX( -f ),.,51,对称性:,证明: 互换 t 和 f 从而:X(t) x(-f),.,52,尺度改变性,证明:,(k 0),(k 0),综上所述,时间尺度特性表明:信号在时域中压缩(k 1,变化速度加快)等效于在频域扩展(频带加宽);反之亦然。,.,53,尺度改变性质举例,.,54,证明: 若 t0为常数 则,时移结果只改变信号的相频谱,不改变信号的幅频谱,时移性,.,55,(c) 时移的时域矩形窗 (d) 图(c)对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例,(a)时域矩形窗,图(a)对应的幅频和相频特性曲线,