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1、【精品】高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修 1.5正态分布课时安排2课时从容说课正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：先作出二项分布B(n,0.5)的直方图(n=10).对n进行变化;如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;给出其函数解析式为xR,其中=np,=npq,e2.71828.对于正态曲
2、线,如果规定,试验的观察值x落在区间(a,b)内的概率P(axb)就是由这条曲线、x轴、直线x=a及x=b所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为,标准差为b的正态分布可以用公式将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为,其中.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x的概率P(axb)表示成标准正态分布中的P(z1zz2),其中,.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉.第九课时课题1.5.1正态分布(一)教学目标一、教学知识点1.深刻理解
3、并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.二、能力训练要求1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.三、德育渗透目标1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法.2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观).3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法.教学重点正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函
4、数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导.教学难点正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生已经掌握总体密度曲线、累积分布
5、曲线的基础上,让学生通过函数观点主动建构出正态分布、正态曲线、标准正态曲线.利用函数的性质(定义域、值域、对称轴、奇偶性、单调性等等).教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片).幻灯片记作1.5.1 A例1.设N(0,1)借助于标准正态分布的函数表计算：(1)P(1.24);(2)P(-1.24);(3)P(|1).幻灯片记作1.5.1 B例2.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线,可是,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位：min)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只
6、有70 min可用,问应走哪条路线？(2)若只有65 min可用,又应走哪条路线？幻灯片记作1.5.1 C例3.某市210名高中学生参加全国高中数学联赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列下表：成绩1分2分3分4分5分人数分布000615成绩6分7分8分9分10分人数分布2112330(1)求样本的数学平均成绩和标准差(精确到0.01);(2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程;(3)若规定,预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可以进入复赛?教学过程.课题导入在上节课,我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图,并指出了当样本容量无限增大时,这个频率分布直方图无
7、限接近于如图111所示的一条总体密度曲线.图111产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定,而且不存在生产系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体密度曲线就可以用一个函数y=f(x)图象来拟合.这个函数的图象叫做正态曲线.这节课我们将来学习正态分布(一).(板书课题)讲授新课师总体密度曲线可以用一个函数y=f(x)的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢？换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数图象与它相近似？生甲可以用二次函数y=a(x-m)2+n(a0,值域为y|y0.师你规定的定义域和值域是否符合函数组成的三
8、要素呢？生乙他的这种规定是无道理的,也是不符合构成函数的三要素的.我认为可以用二次函数与指数函数复合以后的函数图象来拟合,即f(x)=ap(x-m)2+n,这样就符合题设的条件.由图形和实际可以知道,函数的值域是正实数组成的.函数图象也是一对称曲线,关于直线x=x0对称,所以联想到二次函数y=p(x-m)2+q和指数函数y=ax进行复合以后再拟合.师太好了！太好了！(这时教室里报以热烈的掌声和赞叹声,同学们都投以敬佩的目光,这位同学在大家的目光中,显得十分自豪但又很谦逊)生乙感谢生甲的提醒和老师的帮助,更要感谢同学们的鼓励,我的设想是与广大同学们的合作研究分不开的.(建构主义观点的教学模式所倡
9、导的就是要广大同学有合作精神、参与意识,要求每一位同学都要有智力参与,这也正是数学新课程标准所要求的：数学文化和人文精神)师学生甲和乙给出了我们一条曲线的拟合函数的大致设想,经过研究和计算我们得到：总体密度曲线就是或近似地是函数,x(-,+)的图象,式中的实数、(0)是参数,分别表示总体的平均数和标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,常用样本标准差去估计).这个总体是有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布.正态分布由参数、唯一确定.因此,正态分布常记作N(,2).函数,x(-,+)的图象被称为正态曲线.师找三位同学分别画出下列正态曲线：(1)=-1,=0.5;(2)=0,=1;(3)
10、=1,=2.生三位学生画的图如图112所示：图112师从正态曲线上看,你们直观上可以得出正态曲线具有什么特征？生正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.师在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.例如：生产中,在对正常生产条件下各种产品的质量指标(如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度)测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度都近似服从正态分布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.师在测量中,测量结果一般可
11、以表示为=a+,其中a表示测量的量的真值(未知常数),表示测量的随机误差,和一般都服从正态分布.你们能再举一些实例吗？生在生物学中,同一群体的某种特征(如某一地区同年龄组青少年特征,如身高、体重、肺活量、胸围等),在一定条件下生产的小麦的株高、穗长、单位面积产量等,一般也服从正态分布.在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等,水文中的水位,也都服从或近似服从正态分布.师由此看来：正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域中,正态分布在概率和统计中占有重要地位.对于=0,=1时,正态总体称为标准正态总体,这时相应的函数表示式是：,x(-,+),相应的曲线称为标准正态曲线
12、,如上图(2)所示.师从上述三张图中,你们能总结出正态曲线具有哪些性质？生1函数的定义域为一切实数,值域为正的实数集的子集,对应的曲线在x轴的上方,与x轴不相交.这是因为：由函数的性质有eu0,.故曲线与x轴不相交,在x轴上方.生2曲线关于直线x=对称：证明如下(口述证明过程)：在曲线y=f(x)上任取一点A(x0,y0),关于直线x=的对称点为A(x,y),y=y0且x=2-x0.x0=2-x,y0=y.又A在曲线上,.由反代法知,即,有.也就是点A在曲线上,由A点的任意性.曲线y=f(x)关于直线x=对称.生3函数有最大值,因为当x=时,有最大值0,所以y=f(x)有最大值,也就是曲线在x
13、=时位于最高点.生4函数在x(-,上单调递增；在,+)上单调递减.这是因为：由指数函数y=ev是单调递增函数,在x(-,上是增函数,在x,+)上是单调递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以f(x)在x(-,上是增函数,在x,+)上是减函数.故当x时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.师刚才四位同学不仅总结出性质,而且给予了详细的证明,现将性质总结如下：(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交;(2)曲线关于直线x=对称;(3)曲线在x=时位于最高点;(4)当x时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.现将
14、上面的三幅图对称轴重叠在一起即x=0时,如图113所示,你们能总结出什么性质？图113生5当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.师以上就是我们总结的正态曲线五条性质.由于标准正态总体N(0,1),在正态总体的研究中有非常重要的地位,为了便于应用,已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中,相应于x0的值(x0)是指总体取值小于x0的概率,即(x0)=P(xx0)如图中左边阴影部分所示.图114由于标准正态曲线关于y轴对称,表中给出了x00时的函数值(x0).如果x00时,(x0)的值又如何求呢？生由对称性知图(2)中两个阴影部分的面积是相等的,(x0)=1-(-x0).这一点也可以从对立事件角度来解释.师利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间(x1,x2)内取值的概率P=(x2)-(x1).请同学们求出它在(-1,2)内取值的概率.生所求概率为P=(2)-(-1)=(2)-1-(-1)=(2)+(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.师一般的正态总体N(,2)均可以化成标准正态总体N(0,1)来进行研究.事实上,可以证明：对于任一正态总体N(,2)来说,取值小于x的概率.事实上,标准正态总
