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1、 圆圆 的的 面面 积积 圆是一种平面图形，再日常生活中到处可见如圆桌，圆盘，车辆的轱辘， 以及游戏用的棋子，飞盘，呼啦圈等，由于圆有着本身独特的性质，在某些 地方是其它形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子这一讲我们着 重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法圆的面积计算公式，扇形 面积计算公式，同学们在课本上已经都有初步的理解和掌握，我们主要讨论 组合图形的面积的计算方法与技巧 请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是 90 度，八分之一圆对应的 圆心角是 45 度 经典题再现 如下图所示，O 是圆心，圆的周长等于 75.36 分米，点 A、B、C 都在圆 周上，OABC 是梯形，梯
2、形的面积是 98.28 平方分米AB = 20.76 分米，那么 阴影部分的面积是多少平方分米?（ 取 3.14） 解：由圆的周长可求圆的半径：75.36 = 2 3.14 r，r = 12 即 OC = 12 由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高 98.28 = (12 + 20.76) 高 2，高 = 6 阴影的面积 = 12 6 2 = 12 3 = 36（平方分米） 典型例题 【例 1】 长方形长 6 分米，宽 4 分米，分别以长、宽为半径画弧，如 图那么阴影部分的面积是多少平方分米？ 解：= 16.82（平方厘米） 22 63.1443.14 64 44 答：影阴部分的面积
3、是 16.82 平方厘米 【例 2】 如图，半圆 S1的面积是 14.13 平方厘米，圆 S2的面积是 19.625 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 解：因为 s1的面积为 14.13 平方厘米，所以半径的平方为 14.132 3.14 = 9，故半径为 3 厘米，直径为 6 厘米 又因为 s2的面积为 19.625 平方厘米，所以 S2的半径的平方为 19.625 3.14 = 6.25（平方厘米） ，所以它的半径为 2.5 厘米，直径为 5 厘米，所以阴影 部分面积为（6 5）5 = 5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 5 平方厘米 【例 3】 如图，A 与 B 是两个圆（
4、只有）的圆心，那么，两个阴影部 1 4 分的面积相差多少平方厘米? 解：观察上图可以发现大圆的面积减去长方形的面积（包括小阴影和 1 4 大空白两部分）再减去小圆的面积就是两个影阴部分的面积差 1 4 即 = 1.42（平方厘米） 2211 3.144243.142 44 答：两个阴影部分的面积相差 1.42 平方厘米 【例 4】 如图，圆的直径 AB 是 4cm， ABCD 的面积是 7cm2，ABC 等于 30 ，求阴影部分面积 解：这个题许多同学将 ABC 看成是圆心角为 30 的扇形这是错误的，因 为 AB 是直径，BC 不是，AB，BC 不一样长，所以，ABC 不是扇形 如下图，找到
5、圆心 O，连 CO，AOC 才是扇形先要求这个扇形的圆心 角，就可以求出它的面积然后再求三角形 COB 的面积，用 ABCD 的面积减去，就是阴影面积 阴影面积等于平行四边形面积减去扇形 AOC 的面积，再减去BOC 的面积 扇形的圆心角 = 180 （180 30 2）= 60 扇形的面积 =2 2 3.14 60 360 = 2.09（平方厘米） BOC 的面积 = 7 2 2 = 1.75（平方厘米） 阴影部分的面积 = 7 2.09 1.75 = 3.16 答：阴影部分的面积是 3.16 平方厘米 【例 5】 下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解：两个空白部分拼起来正好是一个 44
6、 的正方形 所以阴影部分面积等于 24 的长方形面积 2 4 = 8（平方厘米） 答：影阴部分的面积是 8 平方厘米 【例 6】 如图所示，这是一个正六边形，它的面积为 1040 平方厘米空 白部分是半径为 10cm 的 6 个小扇形求阴影部分的面积 解：图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形的面 积正六边形的面积已知，所以关键是求六个小扇形面积 我们观察每 3 个小扇形可以拼成一个半径为 10 厘米的圆，6 个小扇形可 以拼成 2 个小圆形阴影部分的面积就是正六边形的面积减去 2 个半径为 10 厘米的小圆的面积 6 个扇形的面积为 3.14 102 2 = 628（平方厘米）
7、 ， 阴影部分的面积：1040 628 = 412（平方厘米） 答：阴影部分的面积为 412 平方厘米 难题详解 如下图所示，在 4 7 的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字，阴影边缘 是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积的几分之几? 解：矩形纸板共 28 个小正方形其中弧线是圆周非阴影部分共 6 1 4 个，也共 6 个可拼成 6 个小正方格因此阴影部分共 28 6 3=19 个小方 格所以，阴影面积占纸板面积的 19 28 答：阴影面积占纸板面积的 19 28 同步练习 1如下图，ABCD 为正方形，且 FA = AD = DE = 2 厘米，求阴影部分的面 积？ 2有三个形状相同的圆形纸片，
8、面积都是 90 平方厘米，重叠在一起 （如图） ，盖住桌面的总面积是 150 平方厘米，三张纸片重叠的面积是 28 平 方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？ 3已知图中各圆相切，小圆半径为 1，求阴影部分面积 4已知每个圆的直径为 6 厘米，求阴影部分的面积 5图中正方形 ABCD 的边长是 20 厘米，求阴影部分面积 6如图，已知每个小正方形的面积为 1 平方厘米，求阴影部分面 积 （注：所用分点均理解为所在边中点） 7如图，大圆直径上的黑点是五等分点，求 A，B，C 三部分面积之 比 8如图，O 为圆心，C 为扇形 ACB 的圆心，CO 垂直于 AB，三角形 ABC 的面积为
9、 45 平方厘米，求阴影部分面积 同步练习解答 1图形为图形面积的一半，于是，阴影部分的面积为 DGC DBC = 2.43（平方厘米） 221113 3.14222223.142 4242 2解：90 3 150 28 2 = 64（平方厘米） 3如图 I，II，III 部分面积是相等的，剩余 3 块小阴影面积也相等那 么所求阴影部分面积是一个小半圆面积加上大半圆减去 2 个小圆和 3 个小半 圆剩余部分的 1 3 阴影面积为： 2 135 23 2322236 4如图，长方形外的阴影部分一共个圆，移至长方形内正好 331 1 442 填满长方形，阴影部分的面积就是长方形面积 阴影部分面积
10、= 6 2 6 = 72（平方厘米） 5充分利用圆的对称性，如图，大扇形 ABC 的半径是 20，它的面积减 去三角形 ABC 的面积就是 I 的面积正方形 ABCD 减去圆 O 的面积就是 4 个 II 的面积 阴影部分就是 ABCD 面积减去 2 个 I，4 个 II 的面积 20 2211 2022020204(2020 10 ) 42 = 129（平方厘米） 6阴影分成两部分，一部分是字母“A” ，一部分是字母“r” 字母“A”的面积，我们只需算一半，再 2 倍就可以了 平行四边形 ABCD 面积= 13 3 22 梯形 EFHG 面积= 13115 242216 字母“A”的面积 3
11、5291 233.625 21688 字母“r”的面积 2 3662212.26 最后，阴影面积为 3.625 + 12.26 = 15.885（平方厘米） 7显然，A 与 C 面积相等，B 与 C 面积比为 （1.52 12）：（2.52 1.52 + 12） 2 = 12 所以，A，B，C 面积比为：212 8设 CA = CB = a，OC = OB = OA = r 则由三角形 ABC 面积为 45 知，a2 = 90 1 45 2 aa 再以 AB 为底计算三角形 ABC 面积：ABOC=2OAOC =b2 1 2 1 2 知，b2 = 45 阴影部分面积 = 半圆面积 + 三角形 ABC 面积 扇形 ACB 面积即 45 + b23.14 a2 3.14= 45 + 453.14 903.14= 45 1 2 1 4 1 2 1 4
