《高中数学竞赛专题精讲9三角恒等式与三角不等式(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛专题精讲9三角恒等式与三角不等式(含答案)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9 三角恒等式与三角不等式 三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、 次数以及结构的差别与联系，抓住其主 要差异， 选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式， 完成证明 .“和 差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也 可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于 2 tan x t的代数恒等式的
2、证明问 题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握 各公式及各公式的来龙去脉和变形形式. 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和 基础 . 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题 往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放 缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点含有三角式， 因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛
3、和高考的常见题型. 解决这类问题， 要充分利用好三角 形内角和等于180这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正 弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式 )( 2 1 )()(cbapcpbpappS其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 例题讲解 万 能 公 式 相除相除相除 积化和差 和差化积 相加减 1已知 . cos sin )tan(:, 1|),sin(sin A AA求证 2证明：.cos64cos353215cos77cos 7 xxxocsxx 3求证：.112tan312tan18tan18tan3 4已知 .20
4、012tan2sec:,2001 tan1 tan1 求证 5证 明：.3sin)60sin()60sin(sin4 6求证： 16 1 78cos66cos42cos6cos sin1sin2sin3 sin89=.106) 4 1 ( 45 7证明：对任一自然数n 及任意实数mnk m x k ,2, 1 ,0( 2 为任一整数），有 .2cotcot 2sin 1 4sin 1 2sin 1 xx xxx n n 8证明： . 2 sin 2 1 sin) 2 sin( )sin()2sin()sin(sin nn n 9若0，求证：03sin 3 1 2sin 2 1 sin 10已知
5、0，证明： 2 2sin2ctg，并讨论等号成立的条件。 11已知) 2 ,0(,，能否以sin，sin，)sin(的值为边长，构成三角形。 12在ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，求证： 3cba cCbBaA 13在锐角ABC中，求证 （1）CBACBAcoscoscossinsinsin；（ 2）1tgAtgBtgC 14设 12 zyx，且 2 zyx，求乘积zyxcossincos的最大值和最小值。 课后练习 1证明： sin47+sin61 sin11 sin25=cos7. 2证明：. sin sin )cos(2 sin )2sin( 3已知： sinA+sinB+si
6、nC=0，cosA+cosB+cosC=0. 求证： sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0. 4已知. 03sin 3 1 2sin 2 1 sin:), 0(求证 5已知求且,tan3tan, 2 0的最大值 . 6已知、 sinsinsinsin.), 2 ,0(y求且 的最大值 . 7 ABC 中， C=2B 的充要条件是. 22 abbc 8 ABC 中，已知A 2 sin、B 2 sin、C 2 sin成等差数列，求证：Acot、Bcot、Ccot 也成等差数列. 9 ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为a、b、c，已知cab2，求
7、B 的最大值 . 10若、), 2 ,0(能否以sin、sin、)sin(的值为边长构成一个三角形. 11求函数xxy382的值域 . 12求函数221 2 2 xx x y的值域 . 13在ABC中，求证：BbAaccoscos；AaCcbcoscos； AaBbacoscos。 14设为锐角，求证：223) cos 1 1)( sin 1 1( 15对) 2 ,0(x，求证：tgxxxsin2。 例题答案： 分 析 ： 条 件 涉 及 到 角、， 而 结 论 涉 及 到 角，.故 可 利 用 )()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A” 入手 . 证法 1：),sin(sin
8、A ),sin()sin(A ),cos(sin)(cossin( ),sin(sin)cos(cos)sin( A A . cos sin )tan( ,0)cos( ,0cos , 1| A A A 从而 证法 2： sin)sin(cos sin)sin( )sin( sin cos sin sin sin A ).tan( sin)cos( sin)sin( )sin()sin(cos sin)sin( 分析： 等号左边涉及角7x、 5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为xsin、 xcos的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为,cos33
9、coscos4,cos3cos43cos 33 xxxxxx所以 从而有xxxxx 226 cos9cos3cos63coscos16 )2cos1( 2 9 )2cos4(cos3 2 6cos1 xxx x xxxxxxxx xxxxx cos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64 ,2cos992cos64cos66cos1cos32 7 6 .cos353cos215cos77cos cos20cos153cos153cos65cos65cos7cos xxxx xxxxxxx 评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用
10、复 数求解 . 令 77 ) 1 (cos128, 1 cos2,sincos z z z ziz从而则，展开即可 . 思路分析：等式左边同时出现12tan18tan、12tan18tan，联想到公式 tantan1 tantan )tan(. 证明：12tan312tan18tan18tan3 1 12tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(3 12tan18tan)12tan18(tan3 评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan1()2tan1)(1tan1( 22 2)44tan1 ( 等.、 证明： ) 4 tan( )2 2 sin( )2 2 c
11、os(1 2cos 2sin1 2tan2sec .2001 tan1 tan1 证明： 3 sin4sin33sin )60sin()60sin(sin4 )sin60coscos60)(sinsin60coscos60(sinsin4 )sin 2 1 ()cos 2 3 (sin4 )sin 4 1 cos 4 3 (sin4 )sin 4 3 (sin4 22 22 2 评述：这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有)60cos()60cos(cos43cos )60tan()60tan(tan3tan. 利用这几个公式可解下例. 6. 证明： cos6 cos42cos66cos78
12、 =cos6 cos54cos66 54cos 78cos42cos . 16 1 54cos4 )183cos( 4 1 54cos4 78cos42cos18cos sin1sin2sin3 sin89 =(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30sin60 = 4 3 87sin6sin3sin) 4 1 ( 29 60sin30sin)87sin33sin27(sin)66sin54sin6)(sin63sin57sin3(sin3) 4 1 ( 30 45sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72si
13、n18)(sin18sin9(sin3) 4 1 ( 81sin18sin9sin3) 4 1 ( 40 40 36sin18cos2 2 3 ) 4 1 ( 54cos72sin2 2 3 ) 4 1 ( 54cos18sin36cos18cos2 2 3 ) 4 1 ( 54cos72cos36cos18cos2 2 3 ) 4 1 ( 18cos36cos54cos72cos2 2 3 ) 4 1 ( 72sin54sin36sin18sin 2 23 ) 4 1 ( 43 43 42 42 42 42 又 )72cos1)(36cos1( 4 1 )36sin18(cos 2 16 5
14、 )72cos36cos1( 4 1 )72cos36cos72cos36cos1( 4 1 即 . 4 5 36sin18cos 所以.106) 4 1 (89sin2sin1sin 45 7. 思路分析：本题左边为n 项的和，右边为2 项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之 差，并希冀能消去其中许多中间项. 证明： ,2cotcot 2sin 2cos cossin2 cos2 2sin 2coscos2 2sin 1 22 xx x x xx x x xx x 同理xx x 4cot2cot 4sin 1 xx x nn n 2cot2cot 2sin 1 1 评述：本题裂项技巧也可通过
15、数学归纳法获得. “裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题： n n nn tan tan tan)1tan(3tan2tan2tantan. 1cot1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 .2cot2cot2tan22tan22tan2tan 1122nnnn 8. 证明：), 2 cos() 2 cos( 2 1 2 sinsin )sin()2sin()sin(sin 2 sin, ,) 2 12 cos() 2 12 cos( 2 1 2 sin)sin( ,) 2 3 cos() 2 5 cos( 2 1 2 sin)2sin(
16、 ), 2 cos() 2 3 cos( 2 1 2 sin)sin( n nn n 各项相加得 类似地 . 2 1 sin) 2 sin( ) 2 cos() 2 12 cos( 2 1 nn n 所以， . 2 sin 2 1 sin) 2 sin( )sin()sin(sin nn n 评述：本题也可借助复数获证. 类似地，有 . 2 sin ) 2 cos( 2 1 sin )cos()cos(cos nn n 利用上述公式可快速证明下列各式： 2 sin 2 1 cos 2 sin cos3cos2coscos nn n . 2 1 9 7 cos 9 5 cos 9 3 cos 9 cos . 2 1 7 5 cos 7 3 cos 9 cos 等
