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1、1 高中数学新人教A 版选修 1-1 学案附答案 3.4 生活中的优化问题举例 学习目标： 1. 了解导数在解决实际问题中的作用.2. 掌握利用导数解决简单的实际生活 中的优化问题( 重、难点 ) 自 主 预 习探新 知 1生活中的优化问题 (1) 生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优 化问题 (2) 用导数解决优化问题的实质是求函数的最值 2用导数解决优化问题的基本思路 思考：生活中的优化问题一定要用导数解决吗？ 提示 不一定例如表示数学问题的函数是一次函数或二次函数时，可不用导数求解 基础自测 1思考辨析 (1) 生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题
2、( ) (2) 生活中的优化问题必须运用导数解决() (3) 广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题( ) 答案 (1) (2) (3) 2甲工厂八年来某种产品年产量y与时间t( 单位：年 ) 的函数关系如图3-4-1 所示： 图 3-4-1 现有下列四种说法： 前四年该产品产量增长速度越来越快； 前四年该产品产量增长速度越来越慢； 第四年后该产品停止生产； 第四年后该产品年产量保持不变 其中说法正确的有( ) AB 2 C D B 由图象可知，是正确的 3电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y 1 3x 339 2 x 240 x( x0) 为使耗电量 最小则速度应定为_ 40yx 239
3、x40，令 y 0 即x 239x400， 解得x40 或x 1( 舍) 当 0x40 时，y40 时，y0， 所以当x40 时，函数y 1 3x 339 2 x 240 x 有最小值 合 作 探 究攻重 难 面积、体积的最值问题 用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别 截去一个小正方形，然后把四边翻转90角， 再焊接而成 ( 如图 3-4-2) 问该容器的高为多 少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 图 3-4-2 思路探究 设自变量高为x 解 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm 3，则 V(x) x(90 2x)(48 2x) 4x
4、 3276x24 320 x(0 x 24) 所以V(x) 12x 2552x4 320 12(x 246x360) 12(x10)(x36) 令V(x) 0，得x 10 或x36( 舍去 ) 当 0 x10 时，V(x) 0，即V(x) 单调递增； 当 10 x24 时，V(x)0，即V(x) 单调递减 因此，在定义域(0,24) 内，函数V(x) 只有当x10 时取得最大值，其最大值为V(10) 19 600(cm 3) 3 因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3. 规律方法 1. 求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据 题
5、意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值 2实际问题中函数定义域确定的方法 (1) 根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2) 根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售 量大于零等 跟踪训练 1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x 2 在x轴上方的曲 线上，求这个矩形面积最大时的长和宽. 【导学号： 97792167】 解 设矩形边长AD 2x(0x2) ， 则|AB| y4x 2， 则矩形面积为S2x(4 x 2) 8x2x3(0 x2)， 所以S 86x 2，令 S 0， 解得x12 3 3 ，x2 2
6、3 3 ( 舍去 ) 当 0x0，当 23 3 x2时，S0， 所以，当x 23 3 时，S取得最大值， 此时Smax32 3 9 . 即矩形的边长分别为 43 3 ， 8 3时，矩形的面积最大 用料 ( 费用 ) 最省问题 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建 筑物每年的能源消耗费用C( 单位： 万元 ) 与隔热层厚度x( 单位： cm)满足关系：C(x) k 3x5 (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设f(x) 为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和
7、 (1) 求k的值及f(x) 的函数解析式 4 (2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x) 达到最小，并求最小值 思路探究 代入数据求k的值 ? 建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x) ? 利用导数求最值 解 (1) 设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x) k 3x5， 再由C(0) 8，得k 40，因此C(x) 40 3x5， 而建造费用为C1(x) 6x. 最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为 f(x) 20C(x) C1(x) 20 40 3x56x 800 3x56x(0 x10) (2)f(x) 6 2 400 3x5 2，令f(x)
8、0 即 2 400 3x5 26， 解得x5，x 25 3 ( 舍去 )， 当 0x5 时，f(x)0 ，当 5x0，故x5 时，为f(x) 的最小值点， 对应的最小值为f(5) 65 800 15570. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70 万元 规律方法 解决优化问题时应注意的问题 (1) 列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域 (2) 一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x) 在给定区间内只有一个 极值点或函数f(x) 在开区间上只有一个点使f(x) 0， 则只要根据实际意义判断该值是最 大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较
9、 跟踪训练 2如图 3-4-3 ，要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的 四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆 心建一个半径为 1 5x 2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于 60 m，绕岛行驶的路 宽均不小于10 m. 5 图 3-4-3 (1) 求x的取值范围 (2取 1.4) ； (2) 若中间草地的造价为a元/m 2，四个花坛的造价为 4 33ax 元/m 2，其余区域的造价为 12a 11 元/m 2，则当 x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？ 解 (1) 由题意，得 x9 1002x60 10
10、022x21 5x 2210 ，解得 9x15. 即x的取值范围为 9,15 (2) 记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得 ya 1 5x 2 2 4 33 axx 2 12a 11 10 4 1 5x 2 2 x 2 a 11 1 25x 44 3x 3 12x 2 1210 4， 令f(x) 1 25x 4 4 3x 312x2， 则f(x) 4 25x 34x2 24x 4x 1 25x 2 x6 ， 由f(x) 0，解得x10 或 15 或 0( 舍去 ) 当x变化时，f(x) ，f(x) 的变化情况如下表： x 9,10)10(10,15)15 f(x)00 f(x)极小值225
11、当x10 时，f(x) 取得最小值，y取得最小值 故当x10 时，可使“环岛”的整体造价最低 6 利润最大 ( 成本最低 ) 问题 探究问题 求利润的方法有哪些？ 提示： (1) 利润收入成本 (2) 利润每件产品的利润销售件数 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销 量Q( 万件 ) 与广告费x( 万元 ) 之间的函数关系为Q 3x1 x1 (x0)，已知生产此产品的年固定 投入为 3 万元，每生产1 万件此产品需再投入32 万元若每件产品售价为“年平均每件成 本的 150% ”与“年平均每件所占广告费的50% ”之和，则 (1) 试将年利润y( 万元 ) 表示
12、为年广告费x( 万元 ) 的函数如果年广告费投入100 万元， 那么企业是亏损还是盈利？ (2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 思路探究 (1) 利用题中等量关系列出y与x的函数关系式， 将x100 代入所求关系 式判断y0还是y0； (2) 先求出 (1) 中函数关系式的导函数，再利用导数求最值 解 (1) 由题意，每年销售Q万件，成本共计为(32Q3) 万元销售收入是(32Q 3)150% x50% ， 年利润y年收入年成本年广告费 1 2(32 Q3x) 1 2 323x1 x1 3x x 298x35 2x1 (x0)， 所求的函数关系式为：y x 298x35 2x1
13、(x0)因为当x100 时，y0 ； 当x(7， ) 时，f(x)0，当t(8,9) 时，y0)； 生产总成本y2( 万 元) 也是x的函数：y22x 3 x 2( x0)，为使利润最大，应生产( ) A9 千台B 8 千台 C6 千台D 3 千台 C 利润函数yy1y2 18x 22x3( x0) ，求导得y 36x 6x 2，令 y 0，得x6 或x0( 舍去 ) 因 0x6 时，y 18x 22x3 递减， 所以x6 时利润最大，故选C. 4方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A4 B 6 C4.5 D8 A 设底面边长为x，高为h，则V(x) x 2 h256，h
14、 256 x 2， S(x) x 24xhx24x256 x 2x 24256 x ， S(x) 2x4256 x 2. 令S(x) 0，解得x8，h 256 8 24. 5一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10 千米时， 燃料费是每小时6 元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问轮船的速度是多少时， 9 航行 1 千米所需的费用总和最少？ 【导学号： 97792169】 解 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知pkv 3，因为 v 10 时，p6，所以k 6 10 3 0.006. 于是有p0.006v 3. 又设船的速度为每小时v千米时， 行驶 1 千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的 总费用是 (0.006v 396) 元，而行驶 1 千米所用时间为 1 v小时，所以行驶 1 千米的总费用为 q 1 v(0.006 v 396) 0.006 v 296 v . q 0.012v96 v 2 0.012 v 2(v 38 000) ， 令q 0，解得v20. 当v20 时，q20 时，q0， 所以当v20 时，q取得最小值 即当速度为20 千米 / 小时时，航行1 千米所需费用总和最少
