《高中数学新人教A版选修4-5单元测评附答案第二章证明不等式的基本方法测评38》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学新人教A版选修4-5单元测评附答案第二章证明不等式的基本方法测评38（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高中数学新人教 A版选修 4-5 单元测评附答案 第二讲 证明不等式的基本方法 测评 ( 时间 :120 分钟满分 :150 分) 一、选择题 ( 本大题共12 小题 , 每小题 5分 , 共 60 分) 1.已知, 则下列不等式成立的是() A.abB. C.D.0, 即0, 则qC.pqD.p0, 且=(a 2-a+ 1)(a 2+a+ 1)=a 4+a2+11, 所以 qp. 答案 C 2 3.(2017 江西二模 ) 求证,p=(x1-) 2+( x2-) 2+ +(xn-) 2, q=(x1-a) 2+( x2-a) 2+ +(xn- a) 2 ,若a , 则一定有 () A.p
2、qB.pq C.p,q的大小不定D.以上都不对 解析设f(x)=(x1-x) 2+( x2-x) 2+( xn-x) 2, 则 f(x)=nx 2- 2(x1+x2+xn)x+. 当x=时,f(x) 取得最小值 , 即pb与ab与ab与a0, 则f(a1)+f(a3)+f(a5) 的值() A.恒为正数B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负 解析因为f(x) 是 R上的单调递增函数且为奇函数, 且a30, 所以f(a3)f(0)=0, 而a1+a5=2a3,所以 a1+a50, 则a1-a5,于是f(a1)f(-a5), 即f(a1)-f(a5), 所以f(a1)+f(a5)0, 故f(a1
3、)+f(a3)+f(a5)0. 答案 A 3 6.要使成立 ,a,b应满足的条件是() A.abb B.ab0, 且ab C.ab0, 且a0, 且ab或ab0, 且ab 解析?a-b+3-30 时, 有, 即ba; 当aba. 答案 D 7.设a,b,cR, 且a,b,c不全相等 , 则不等式a 3+b3+c33abc 成立的一个充要条件是() A.a,b,c全为正数B.a,b,c全为非负实数 C.a+b+c0D.a+b+c0 解析a 3 +b 3+c3- 3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2+c2-ab-ac-bc )=(a+b+c)(a-b) 2+( b-c) 2+( a-c) 2
4、, 而 a,b,c不全 相等 ? (a-b) 2+( b-c) 2+( a-c) 20. 故a 3+b3+c3- 3abc0?a+b+c0. 答案 C 8.设a,b,c,dR, 若a+d=b+c, 且|a-d|b-c|, 则有() A.ad=bcB.adbcD.adbc 解析|a-d|b-c|? (a-d) 2( b-c) 2? a 2+d2- 2adb 2+c2- 2bc, 因为 a+d=b+c? (a+d) 2=( b+c) 2? a 2+d2+2ad=b2+c2+2bc, 所以 -4adbc. 答案 C 4 9.使不等式1+成立的正整数a的最大值是() A.10 B.11 C.12 D.
5、13 解析用分析法可证当a=12 时不等式成立, 当a=13 时不等式不成立. 答案 C 10.已知a,b,c (0,+), 若, 则() A.cabB.bca C.abcD.cba 解析由可得+1+1b+cc+a.由 a+bb+c可得ac, 由b+cc+a可得ba, 于是有can,m,n N+,a=(lg x) m +(lg x) -m, b=(lg x) n+(lg x) -n , 其中x1, 则() A.abB.ab C.abD.a1, 所以 lg x0. 当 lg x=1 时,a-b=0, 所以a=b; 当 lg x1 时,a-b0, 所以ab; 当 0lg x0, 所以ab. 综上
6、,ab. 答案 B 12.已知x,y0, 且xy-(x+y)=1, 则() A.x+y2(+1) B.xy+1 C.x+y(+1) 2 D.xy+1 解析由xy-(x+y)=1 可得xy=1+x+y1+2, 即() 2- 2-10, 所以+1, 则 xy(+1) 2,排除 B和 D;因为 xy=x+y+1, 解得x+y2(+1).故选 A. 答案 A 二、填空题 ( 本大题共4 小题 , 每小题 5 分, 共 20 分 ) 13.当x1 时,x 3 与x 2-x+ 1 的大小关系是. 解析因为x 3- (x 2-x+ 1)=x 3-x2+x- 1=x 2( x-1)+(x-1)=(x-1)(x
7、 2+1), 且 x1, 所以 (x-1)(x 2+1) 0. 因此x 3- (x 2-x+ 1)0, 即x 3x2-x+ 1. 答案x 3 x 2-x+ 1 14.设 0mnab, 函数y=f(x) 在 R上是减函数 , 下列四个数f,f,f,f的大小顺序 是. 6 解析1fff. 答案ffff 15.若a+ba+b, 则a,b应满足的条件是. 解析因为a+ba+b? () 2 ()0?a0,b0, 且ab. 答案a0,b0, 且ab 16.设a,b为正数 ,为锐角 ,M=,N=() 2, 则 M,N的大小关系 是. 解析因为a0,b0,为锐角 , 所以N=ab+2+2,M=ab+ab+2当
8、且仅当 时,等号成立. 又 sin 21, 所以Mab+2+2=N, 当且仅当a=b, 且=时, 等号成立. 答案MN 三、解答题 ( 本大题共6 小题 , 共 70 分) 7 17.( 本小题满分10 分) 设ab0, 求证. 证明因为ab0, 所以0,0. 又=1+1, 故. 18.( 本小题满分12 分) 设a,b0,ab, 求证a+b. 证明-(a+b)= =(a 3-b3) =, 因为a,b0,ab, 所以a+b0,(a-b) 20, a 2+ab+b2 0,a 2b20, 所以0. 故a+b. 8 19.( 本小题满分12 分) 已知a 2+b2 =1,x 2+y2=1, 试用分析
9、法证明 ax+by1. 证明要证ax+by1 成立 , 只需证 1-(ax+by) 0, 只需证 2-2ax-2by0. 因为a 2+b2 =1,x 2+y2=1, 只需证a 2+b2+x2+y2- 2ax-2by0, 即证 (a-x) 2+( b-y) 20, 显然成立 . 所以ax+by1. 20.( 本小题满分12 分) 设a,b,c,d是正数 , 试证明下列三个不等式: a+bc+d;(a+b)(c+d)ab+cd;(a+b)cdab(c+d) 中至少有一个不正确. 证明假设不等式都正确. 因为a,b,c,d都是正数 , 所以两不等式相乘并整理, 得(a+b) 2 ab+cd. 由式,
10、 得(a+b)cd0,(a+b)(c+d)ab+cd, 所以 4cdab+cd. 所以 3cdab, 即cd. 由式, 得(a+b) 2 , 即a 2+b2- ab, 与平方和为正数矛盾. 故假设不成立,即不等式中至少有一个不正确. 9 21.导学号 26394042( 本小题满分12 分) 已知正数a,b,c满足a+b+c=6, 求证 . 证明由已知及三个正数的算术-几何平均不等式可得 3 = = ( 当且仅当a=b=c=2 时, 等号成立 ), 故原不等式成立. 22.导学号 26394043( 本小题满分12 分) 设Sn为数列 an的前n项和 ,Sn=nan-3n(n- 1)(nN+)
11、, 且a2=11. (1) 求a1的值 ; (2) 求数列 an的前n项和Sn; (3) 设数列 bn满足bn=, 求证b1+b2+bn. (1) 解当n=2 时,由Sn=nan-3n(n-1), 得a1+a2=2a2-32(2-1), 10 又a2=11, 可得a1=5. (2) 解当n2 时, 由an=Sn-Sn- 1, 得an=nan-3n(n-1)-(n-1)an- 1-3(n-1)(n-2), 整理 ,得an-an-1=6(nN,n2). 又a2-a1=6, 所以数列 an 是首项为5, 公差为 6 的等差数列.所以an=5+6(n-1)=6n-1. 故Sn=3n 2+2n. (3) 证明bn= = = =), 所以 b1+b2+bn()+()+()+() =). 故b1+b2+bn成立.
