《高中数学北师大版必修4学案附答案：第三章三角恒等变形章末复习课学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版必修4学案附答案：第三章三角恒等变形章末复习课学案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高考数学北师大版必修4 学案附答案 第三章 三角恒等变形 章末复习课 网络构建 核心归纳 1两角和与差的三角函数公式的理解 (1) 正弦公式概括为“正余，余正符号同” “符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“”号；前面是两角差，则后面中间为 “”号 (2) 余弦公式概括为“余余，正正符号异” (3) 二倍角公式实际就是由两角和公式中令所得 特别地，对于余弦：cos 2cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2，这三个公式各有用处， 同等重要， 特别是逆用即为“降 幂公式”，在考题中常有体现 2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆 要尽
2、可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般 要尽可能有理化、整式化、 降低次数等 在解决求值、 化简、证明问题时， 一般是观察角度、 函数名、所求 ( 或所证明 ) 问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 要点一三角函数求值问题 三角函数求值主要有三种类型，即： 2 (1) “给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类 问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角， 当然还有可能需要运用诱导公式 (2) “给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值 问题关键在于结合条件和结论中
3、的角，合理拆、配角当然在这个过程中要注意角的范围 (3) “给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角 之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围 【例 1】已知 tan 4 1 2，且 2 ， sin 22cos 2 sin 4 的值 解 sin 22cos 2 sin 4 2cos sin cos 2 2 sin cos 22cos . tan 4 1tan 1 tan 1 2， tan 3， 2 ， ，cos 10 10 ， sin 2 2cos 2 sin 4 22cos 22 10 10 25 5 . 【训练 1】已知 0 4 ，0 4 ，
4、且 3sin sin(2) ，4 tan 2 1tan 2 2 ， 求的值 解3sin sin(2) ， 即 3sin() sin() ， 整理得 2sin()cos 4cos()sin . 即 tan() 2tan . 又 4tan 2 1tan 2 2 ， tan 2tan 2 1tan 2 2 1 2， tan() 2tan 2 1 21. 3 0， 2 ， 4 . 要点二三角函数的化简与证明 由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角 函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入 手，找出待化简 ( 证明 ) 的
5、式子的特点， 然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的 化简与证明 化简三角函数式的要求： 1能求出值的应求出值； 2使三角函数的种数尽量少； 3使项数尽量少； 4尽量使分母不含三角函数； 5尽量使被开方数不含三角函数； 6次数尽量低 【例 2】求证： tan 3 2xtan x 2 2sin x cos xcos 2x. 证明左边 tan 3 2xtan x 2 sin 3 2x cos 3 2x sin x 2 cos x 2 sin 3 2xcos x 2sin x 2cos 3 2x cosx 2cos 3 2x sin x 1 2 cos 2xcos x 2sin x cos
6、xcos 2x 右边 tan 3 2xtan x 2 2sin x cos xcos 2x. 【训练 2】求证： 3 sin 240 1 cos 24032sin 10 . 证明左边 3 2 sin 40 2 1 cos 40 2 3cos 40 2 sin 40 2 sin 240cos240 3cos 40 sin 40 3cos 40 sin 40 sin 240cos240 4 42 23 2 cos 40 1 2sin 40 3 2 cos 40 1 2sin 40 2sin 40 cos 40 2 16sin 100 sin 20 sin 280 16sin 80 sin 20 s
7、in 2 80 16sin 20 sin 80 32sin 10 cos 10 cos 10 32sin 10 右边 原式成立 要点三整体换元的思想在三角恒等变形中的应用 在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个 “元”可以明确地设出来 【例 3】求函数f(x) sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值时x的值 解设 sin xcos xt， 则tsin xcos x2 2 2 sin x 2 2 cos x 2sinx 4 ， t 2，2 ， sin xcos x sin xcos x 21 2 t 21 2 . f(x) sin
8、xcos xsin xcos x g(t) t t 2 1 2 1 2( t1) 21， t 2，2 当t 1，即 sin xcos x 1 时，f(x)min 1. 此时，由sinx 4 2 2 ， 解得x 2k 或x 2k 2 ，kZ. 当t2，即 sin x cos x2时，f(x)max2 1 2. 此时，由2sinx 4 2，sinx 4 1. 解得x 2k 4 ，kZ. 综上，当x 2k 或x 2k 2 ，kZ时，f(x) 取得最小值，f(x)min 1； 当x2k 4 ，kZ 时，f(x) 取得最大值，f(x)max2 1 2. 5 【训练 3】求函数ysin xsin 2xco
9、s x(xR) 的值域 解令 sin xcos xt， 则由t2sinx 4 知t2，2 ， 又 sin 2x1(sin x cos x) 2 1 t 2. y(sin xcos x) sin 2x t1t 2 t 1 2 25 4. 当t 1 2时， ymax5 4； 当t2时，ymin21. 函数的值域为2 1，5 4 . 要点四构建方程 (组) 的思想在三角恒等变形中的应用 方程 ( 组) 思想是中学重要的思想方法之一借助三角函数公式构建关于某些量的方程( 组) 来求解，也是三角求值中常用的方法之一 【例 4】已知锐角三角形ABC中， sin(AB) 3 5，sin( AB) 1 5.
10、(1) 求证： tan A 2tan B; (2) 设AB3，求AB边上的高 (1) 证明 sin(AB) 3 5，sin( AB) 1 5， sin Acos Bcos Asin B 3 5 sin Acos Bcos Asin B 1 5 ? sin Acos B2 5 cos Asin B 1 5 ? tan A tan B 2. tan A2tan B. (2) 解 2 AB， sin(AB) 3 5， tan(AB) 3 4， 6 即 tan Atan B 1tan Atan B 3 4. 将 tan A2tan B代入上式并整理得 2tan 2B 4tan B10， 解得 tan
11、B 26 2 ，舍去负值，得tan B 26 2 . tan A2tan B26. 设AB边上的高为CD， 则ABADDB CD tan A CD tan B 3CD 26 ， 由AB3，得CD 26. AB边上的高等于26. 【训练 4】已知 sin() 3 5，sin( ) 2 3，则 tan tan 等于 ( ) A. 1 15 B. 2 5 C. 1 19 D 1 19 解析由已知 sin() 3 5， sin( ) 2 3， 得 sin cos cos sin 3 5， sin cos cos sin 2 3， 两式分别相加减得sin cos 1 30，cos sin 19 30.
12、tan tan sin cos cos sin 1 19. 答案D 基础过关 1cos 2 014 cos 1 586 sin 2 014 sin 1 586 等于( ) A0 B. 1 2 C. 2 2 D 1 解析原式 cos(2 014 1 586) cos 3 600 1. 7 答案D 2已知是锐角，那么下列各值中，sin cos 能取得的值是 ( ) A. 4 3 B. 3 4 C.5 3 D. 1 2 解析0 2 ， 4 4 ， 3 4 ， 又 sin cos 2sin 4 ， 所以 2 2 sin 4 1， 所以 1sin cos 2. 答案A 3函数y3sin 2xcos 2x
13、的最小正周期为( ) A. 2 B. 2 3 C D2 解析y 2 3 2 sin 2x1 2cos 2 x2sin 2x 6 ， T 2 2 ，故选C. 答案C 4设 tan() 2 5， tan( 4 ) 1 4，则 tan( 4 ) 的值是 _ 解析 4 () ( 4 ) ， tan( 4 ) 2 5 1 4 1 2 5 1 4 3 20 22 20 3 22. 答案 3 22 5在ABC中， tan A tan B tan C 33，tan 2B tan Atan C，则B_. 解析tan B tan(AC) tan A tan C 1tan Atan C 33tan B 1tan 2
14、 B ， 所以 tan 3B 33，所以 tan B3， 又因为B为三角形的内角，所以B 3 . 8 答案 3 6已知 2 ， ，sin 5 5 . (1) 求 sin 4 的值； (2) 求 cos 5 6 2的值 解(1) 因为 2 ，sin 5 5 ， 所以 cos 1sin 2 25 5 . 故 sin 4 sin 4 cos cos 4 sin 2 2 2 5 5 2 2 5 5 10 10 . (2) 由(1) 知 sin 22sin cos 2 5 5 25 5 4 5， cos 212sin 212 5 5 23 5， 所以 cos 5 6 2cos 5 6 cos 2sin
15、5 6 sin 2 3 2 3 5 1 2 4 5 433 10 . 7已知函数f(x) sin 2xcos2x2 3sin xcos x(xR) (1) 求f 2 3 的值； (2) 求f(x) 的最小正周期及单调递增区间 解(1)f(x) sin 2xcos2x2 3sin xcos x cos 2x3sin 2x 2sin2x 6 ， 则f 2 3 2sin 4 3 6 2. (2)f(x) 的最小正周期为. 由正弦函数的性质得 9 令 2k 2 2x 6 2k 3 2 ，kZ， 得k 6 xk 2 3 ，kZ. 所以函数f(x) 的单调递增区间为k 6 ，k 2 3 ，kZ. 能力提升 8函数ysin xcos x3cos 2x 3的图像的一个对称中心为( ) A. 2 3 ， 3 2 B. 5 6 ， 3 2 C. 2 3 ， 3 2 D. 3 ，3 解析y1 2sin 2 x 3 2 (1 cos 2x) 3sin2x 3 3 2 ，令 2x 3 k， (kZ) x k 2 6 (kZ) ，当k2 时，x 5 6 ， 函数图像的一个对称中心为 5 6 ， 3 2 . 答案B 9设向量a(cos 55，sin 55) ，b(cos 25，
