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1、二项式定理,对于ab，(ab)2，(ab)3，(ab)4，(ab)5等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为： (ab)n（nN*）,二项式,由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，二项式定理研究的是(ab)n展开后的表达式的一般结构。那么(ab)n 的展开式是什么呢？,一、问题引入,什么是二项式，二项式定理研究的是什么？,二、讲授新课,问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？,请分别用列举法、分类计数原理进行分析。,列举法：aa，ab，ba，bb 共4种.,问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小球，现依
2、次从这2个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？,分类计数原理：由于b选定后,a也随之确定，因此： 第一类，两次都不取b（即两次都取a），有 1种取法， 第二类，任一次取b（即另一次取a），有 2种取法； 第三类，两次都取b（即两次都不取a），有 1种取法。 共4种.,问题2：请将(a+b)(a+b)逐项展开并整理,思考：问题2与问题1的处理过程之间有何异同点？,同：展开的过程就是取球的过程；,异：取球ab，ba属两种方法，展开式中的ab，ba 可合并同类项。,整理后，各项系数为各项在展开式中出现的次数， 即取球问题中分类计数原理的各类结果数。,问题4：有3个口袋，每个口袋都同样装有a,
3、b两个小球，现依次从这3个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？,请用分类计数原理进行分析,问题5:,探究1 推导 的展开式.,问： 合并同类项前的展开式中，共有几项？ 能利用分步乘法计数原理解释一下吗？ 每项的次数为几次？,项的形式：,项的系数：,展开式：,探究1 推导 的展开式.,问：合并同类项后的展开式中，共有几项？ 每项的次数为几次？ 展开式项的排列方式如何？（按照a的降次幂还是升次幂排列的？）,项的形式：,项的系数：,展开式：,探究2 推导 的展开式.,请用分步乘法计数原理 解释一下？,问：合并同类项后的展开式中，共有几项？ 每项的次数为几次？ 展开式项的排列方式如何？（按照a
4、的降次幂还是升次幂排列的？）,猜想,探究3 仿照上述过程,推导 的展开式.,二项式定理,问题6:,1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 ， 其中 （r=0,1,2,n）叫做 ； 2) 叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示， 该项是指展开式的第 项.,二项展开式,二项式系数,r+1,二项式定理：,2.二项式系数规律：,3.指数规律：,（1）各项的次数和均为n； （2）二项式的第一项a的次数由n逐次降到0， 第一项b的次数由0逐次升到n.,1.项数规律：,展开式共有n+1项,二项式定理,注意：公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。,项数：,次数：,共有n1项,各项的次数都等于n，,字母a按
5、降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .,二项式定理:,一般地，对于n N*，有：,二项展开式的结构特征：,展开式中项的排列方式如何？,这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研究形如 的展开式问题。,式中 叫做二项展开式的通项，,二项式定理:,一般地，对于n N*，有：,即（2）二项展开式的通项:,即（1）二项式系数:,把各项的系数 叫做二项式系数,为展开式的第k+1项，用 表示,二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664-1665年间提出,二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用,定理应用， 初步体验,练习：,
6、那么对于 的展开式呢？,析：,问：展开式中第四项为？第四项的系数为？ 第四项的二项式系数为？,项的系数为：二项式系数与数字系数的积,注意：区别二项式系数与项的系数的概念,二项式系数为,典例导航,（1）请写出展开式的通项。 （2）求展开式的第4项。 （3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。 （4）求展开式中含 的项。,求第4项，并指出它的二项式系数和系数是什么？,巩固练习,（1）令a=1，b=x：,（2）令a=1，b=1：,（二项式系数和公式）,四、理论迁移（一）,法二：先化简通项，后展开,法一：直接展开,例1 （1）求 的展开式.,（2）求 的展开式的第4项的系数.,（3）求 的展开式中
7、x的二项式系数.,注：一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念。,活学活用（一）,四、理论迁移（二）,总结：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢,活学活用（二）,1.二项式定理：,2典型例题,(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。,(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。,课堂小结,(2)二项展开式的通项：,(1)二项式系数：,(1) 求形如 的展开式问题。,方法,直接利用二项式定理,作业布置,1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5,2、思维拓展型作业：（查阅相关资料） （1）查阅有关杨辉一生的主要成就。 （2）探究二项式系数 有何性质.,杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家,
