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1、 1 第一章第一章 晶体结构晶体结构 后期后期编辑编辑：霍霍团长团长 1.11.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设如果将等体积球分别排成下列结构，设x x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：表示钢球所占体积与总体积之比，证明： 结构结构 X X 简单立方简单立方 52. 0 6 体心立方体心立方 68. 0 8 3 面心立方面心立方 74. 0 6 2 六角密排六角密排 74. 0 6 2 金刚石金刚石 34. 0 6 3 解解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构 成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看
2、作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x （1）对于简立方结构： （见教材P2图1-1） a=2r， V= 3 r 3 4 ，Vc=a3，n=1 52. 0 68 3 4 3 4 3 3 3 3 r r a r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 34 ar4a3 n=2, Vc=a3 68. 0 8 3 ) 3 34 ( 3 4 2 3 4 2 3 3 3 3 r r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r22a,
3、r4a2 n=4，Vc=a3 74. 0 6 2 )22( 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 r r a r x （4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 2 60sinaa 6S ABO = 2 a 2 33 2 晶胞的体积：V= 332 r224a23a 3 8 a 2 33 CS n=123 2 1 2 6 1 12=6个 74. 0 6 2 )22( 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 r r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= 3 r8 ar24a3 n=8, Vc=a3 34. 0 6 3 33 8 3 4 8 3 4 8 3 3 3 3 3 r
4、r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：证明： （1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） ： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a ajk a aik a aij 由倒格子基矢的定义： 123 2 ()baa 3 123 0, 22 (),0, 224 ,0 22 aa aaa aaa aa ， 2 23 , ,0,() 224 ,0 22 ijk aaa aaijk aa 2 1 3 42 2()() 4 a bijkijk aa 同理可得： 2 3 2 ()
5、2 () bijk a bijk a 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 3 （2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） ： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a aijk a aijk a aijk 由倒格子基矢的定义： 123 2 ()baa 3 123 , 222 (), 2222 , 222 aaa aaaa aaa aaa ， 2 23 , ,() 2222 , 222 ijk aaaa aajk aaa 2 1 3 22 2()() 2 a bjkjk aa 同理可得： 2 3 2 () 2 () bik a bij
6、a 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 所以，体心立方的倒格子是面心立方。 1.5、证明倒格子矢量证明倒格子矢量 1 12 23 3 Ghbh bhb垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为 1 23 ()hh h的晶面系。的晶面系。 证明： 因为 3312 1323 , aaaa CACB hhhh ， 1 12 23 3 Ghbh bhb 利用2 ijij a b，容易证明 1 2 3 1 2 3 0 0 h h h h h h GCA GCB 所以，倒格子矢量 1 12 23 3 Ghbh bhb垂直于密勒指数为 1 23 ()hh h的晶面系。 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒
7、指数为对于简单立方晶格，证明密勒指数为( , , )h k l的晶面系，面间距的晶面系，面间距d满足：满足： 22222 ()dahkl， 其中其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。 4 解：简单立方晶格： 123 aaa， 123 ,aaiaajaak 由倒格子基矢的定义： 23 1 123 2 aa b a aa ， 31 2 123 2 aa b a aa ， 12 3 123 2 aa b a aa 倒格子基矢： 123 222 ,bibj bk aaa 倒格子矢量： 123 Ghbkblb， 22
8、2 Ghikjlk aaa 晶面族()hkl的面间距： 2 d G 222 1 ( )( )( ) hkl aaa 2 2 222 () a d hkl 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。 1.9、画出立方晶格（画出立方晶格（111）面、 （）面、 （100）面、 （）面、 （110）面，并指出（）面，并指出（111）面与（）面与（100）面、 （）面、 （111）面与（）面与（110） 面的交线的晶向。面的交线的晶向。 解： (111) (111) 1、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB平移，A 与 O 点重合
9、，B点位矢： B Rajak ， (111)面与(100)面的交线的晶向ABajak ，晶向指数011。 2、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB平移，A 与原点 O 重合，B点位矢： B Raiaj ，(111)面 与(110)面的交线的晶向ABaiaj ，晶向指数110。 5 第二章第二章 固体结合固体结合 2.1、 两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数 （两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数 （2ln2） 和库仑相互作用能， 设离子的总数为） 和库仑相互作用能， 设离子的总数为2N。 解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键， 取任一负离子作参考离子 （这样马
10、 德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离， 于是有 ( 1)1111 2. . . 234 j ij rrrrrr 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 i r的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求 和后要乘 2，马德隆常数为 234 (1). 34 n xxx xx x 当 X=1 时，有 111 1.2 234 n 2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为、若一晶体的相互作用能可以表示为 ( ) mn u r rr 试求： （试求： （1）平衡间距）平衡间距 0 r； （2）结合能）结合能W（单个原子的） ；（单个原
11、子的） ； （3）体弹性模量；）体弹性模量； （4）若取）若取 0 2,10,3 ,4mnrA WeV，计算，计算及及的值。的值。 解解： （： （1）求平衡间距求平衡间距 r0 由0 )( 0 rr dr rdu ，有： mn nm nm m n n m r r n r m 1 1 0 1 .0 1 0 0 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量 称为结合能（用 w 表示） （2）求结合能求结合能 w（单个原子的）（单个原子的） 题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子 基团，或其它复杂的基元。 显然结
12、合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin 即： nm rr rUW 00 0) ( （可代入 r0值，也可不代入） （3）体弹性模量）体弹性模量 由体弹性模量公式： 0 2 2 0 2 0 9 r r U V r k 111 21. 234 22 n 6 （4）m = 2，n = 10， Ar3 0 ， w = 4eV，求、，求、 8 1 8 1 0 5 2 10 r ) 5 ( 5 4 )( 8 0 2 0 10 . 2 0 0 代入 r rrr rU eV r rUW4 5 4 )( 2 0 0 将 Ar3 0 ，JeV 19 10602. 11 代入 2115 238 10459. 9
13、10209. 7 mN mN 详解：详解： （1）平衡间距 r0的计算 晶体内能( )() 2 mn N U r rr 平衡条件 0 0 r r dU dr ， 11 00 0 mn mn rr ， 1 0 ()n m n r m （2）单个原子的结合能 0 1 ( ) 2 Wu r ， 0 0 ( )() mn r r u r rr ， 1 0 ()n m n r m 1 (1)() 2 m n m mn W nm （3）体弹性模量 0 2 0 2 ()V U KV V 晶体的体积 3 VNAr，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能( )() 2 mn N U r rr UUr VrV 11
14、2 1 () 23 mn Nmn rrNAr 2 2112 1 () 23 mn UNrmn VVrrrNAr 0 222 22 00000 1 2 9 mnmn V V UNmnmn VVrrrr 由平衡条件 0 112 000 1 ()0 23 mn V V UNmn VrrNAr ，得 00 mn mn rr 7 0 222 22 000 1 2 9 mn V V UNmn VVrr 0 2 22 000 1 2 9 mn V V UNmn mn VVrr 2 000 2 9 mn N nm Vrr 0 00 () 2 mn N U rr 0 2 0 22 0 () 9 V V Umn U VV 体弹性模量 0 0 9 mn KU V （4）若取 0 2,10,3,4mnrA WeV 1 0 ()n m n r m ， 1 (1)() 2 m n m mn W nm 10 0 2 W r， 2 0 10 0 2rW r -9510 1.2 10eV m， 192 9.0 10eV m 2.7、 对于对于 2 H， 从气体的测量得到， 从气体的测量得到 LennardJone
