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1、5.2 刚体定轴转动定律,一、力对点的力矩,定义：,方向：,大小：,的方向,注意,r = 0,作用点为O,力作用线过O,（1） 与O点的选取有关,（2）有心力,有心力对力心的力矩恒为0。,二、力对定轴的力矩,只有转动平面内的切向分力才对轴有力矩,力对轴上O点的力矩,力对O点的力矩在 z轴上的投影 Mz，称为力对定轴 z的力矩。,P,与z轴平行,的作用线过z轴,(3) 合力矩等于各分力矩的代数和。,(2) Mz的符号：,说明,与z轴同向为正。,三、定轴转动定律,对任一质点mi：,所有质点：,= 0,z,定义：转动惯量,定轴转动定律： 作用于定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与角加速
2、度的乘积。,（1）力矩的瞬时作用规律,（3） J 是物体转动惯性大小的量度,说明,转动惯量：,（4）适用于转轴固定于惯性系中的情况。,（5）对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速 度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和 为零）,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。,即J 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，J 越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转动惯性越小。,四、转动惯量,1. 定义,（2）质量连续分布：,（1）由离散质点组成：,一个质点：m,一般由测量确定；对质量分布均匀、形状规则的刚体，J 可计算得出。,JC ：对质心轴的转动惯量,2.
3、 计算,（2）平行轴定理：,（1）利用定义：,*平行轴定理证明,（3）垂直轴定理：,薄板刚体,例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。,已知圆盘,解：,（4）转动惯量的叠加原理,由几部分组成的刚体，对轴的转动惯量等于各部分对同一轴转动惯量的代数和。,例：求质量为m，长为L的均匀细棒的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心O并与棒垂直； （2）通过棒的一端B并与棒垂直； （3）通过距中心为h的点A 并与棒垂直。,解：以棒中心为原点建立坐标Ox,（1）JO ：,（2）JB ：,（3）JA ：,例：半径为R、质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，求对中垂轴的转动惯量。,（1）细圆环：,（2）薄圆盘：,看
4、作由许多宽为dr的细圆环组成,解：,例：求均匀实心球对过球心轴的转动惯量。,解：球可看作由许多厚为dz的薄圆盘组成。,一半径为R的圆盘，挖去图示的一块小圆盘，剩余部分的质量为m，试求其对通过中心并垂直盘面的轴的转动惯量。,例：,解：,设未挖时的质量为m0，挖掉部分的质量为,m，盘厚为h，体质量密度为r。由于,所以,根据平行轴定理，挖掉部分对OO 轴的转动惯量为,由转动惯量的相加性可得，剩余部分的转动惯量为,（2）刚体的总质量,（1）转轴位置,（3）质量分布,讨论,决定转动惯量的因素：,五、定轴转动定律的应用,刚体的平衡条件：,(1) 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。,(2) 要选定转动的正方
5、向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负。,(3)当系统中既有转动物体又有平动物体时，如果用隔离体法解题，那么对转动物体按转动定律建立方程，对平动物体则按牛顿定律建立方程。,例：质量分别为m1、m2的物体 通过轻绳挂在质量为m3半 径为r的圆盘形滑轮上。 求：m1、m2加速度及绳子张力。,解：,讨论,轻滑轮,一飞轮的半径R = 0.25m，质量m = 60kg，此质量可近似的认为只分布在轮的边缘。飞轮以每分钟1000转的转速转动，已知飞轮与制动杆上的闸瓦间摩擦系数为m = 0.4，闸瓦到制动杆转轴O的距离为杆全长的1/3。制动杆及闸瓦质量不计。求在制动飞轮时，若要求在t =5.0s内使它均匀的减速而最后停止转动，则在制动杆自由端加的力F有多大？,例：,解：飞轮初始角速度,对于飞轮,对于制动杆,例：细杆质量为m，长为L，可绕水平光滑轴O 在竖直平面内转动，自水平静止释放。 求：（1）杆与铅直方向成 角时的b； （2）杆过铅直位置时的w 。,解：（1）,L,O,（2）,L,例：静止刚体受到力矩M0的作用,同时引起一阻 力矩M1，M1 与转动角速度成正比，刚体对 转轴的转动惯量为J。 求：角速度变化规律。,解：,分离变量：,例：质量m的圆盘半径为R，绕中心旋转，与桌 面的摩擦系数为m。 求：圆盘从w0到静止所需要的时间 t。,解：,取半径为r、宽为dr 的圆环：,
