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1、第一章,常用逻辑用语,本章内容,1.1 命题及其关系,1.2 充分条件与必要条件,1.3 简单的逻辑联结词,1.4 全称量词与存在量词,第一章 小结,1.1 命题及其关系,1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系,1.1.1 命题,1.1.1 命题,返回目录,1. 什么是命题? 它的结构形式是怎样的?,2. 什么是真命题? 什么是假命题? 如何判断命题的真假?,问题1. 从语言的角度讲, 下列句子各属什么类型? 能判断它们的真假吗? (1) 若直线 a/b, 则直线 a 和直线 b 无公共点. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行吗? (4) x10是一个
2、比较大的数. (5) 1010这个数太大了! (6) 求 3 除以 2 的余数.,(1)(2)(4)是陈述句,(3)是疑问句,(5)是感叹句,(6)是祈使句.,能判断真假的是陈述句中的(1)(2).,问题1. 从语言的角度讲, 下列句子各属什么类型? 能判断它们的真假吗? (1) 若直线 a/b, 则直线 a 和直线 b 无公共点. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行吗? (4) x10是一个比较大的数. (5) 1010这个数太大了! (6) 求 3 除以 2 的余数.,一般地, 我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫
3、做真命题, 判断为假的语句叫做假命题.,真命题.,假命题.,不能判断真假, 不是命题.,例1. 判断下列语句中哪些是命题? 是真命题还是假命题? (1) 空集是任何集合的子集; (2) 若整数 a 是素数, 则 a 是奇数; (3) 指数函数是增函数吗? (4) 若空间中两条直线不相交, 则这两条直线平行; (5) (6) x15.,解:,(3)不是陈述句;,(6)是陈述句但不能判断真假;,(1)(2)(4)(5)是能判断真假的陈述句, 所以(1)(2)(4)(5)是,命题,其中(1)(5)是真命题, (2)(4)是假命题.,命题通常由 “条件” 和 “结论” 两部份组成, 写成,“若 p,
4、则 q”,的形式, p 是命题的条件, q 是命题的结论.,例2. 指出下列命题中的条件 p 和结论 q: (1) 若整数 a 能被 2 整除, 则 a 是偶数; (2) 若四边形是菱形, 则它的对角线互相垂直且平分.,解:,(1),条件 p: 整数 a 能被 2 整除,结论 q: a 是偶数.,(2),条件 p: 四边形是菱形,结论 q: 它的对角线互相垂直且平分.,有些命题没有明显的 “若 p, 则 q” 的形式,如下例:,例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.,解:,(
5、1),若两条直线垂直于同一条直线, 则这两条,直线平行.,这是个假命题.,垂直同一条直线的两直线也可能,平行, 也可能相交, 也可能异面.,例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.,解:,(2),若一个数是负数, 则这个数的立方也是,这是个真命题.,负数.,一个负数的奇次方仍是负数.,例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.,解:,(3),如果两个角是对顶角,
6、那么这两个角,这是个真命题.,相等.,平面几何中有对顶角相等的定理.,练习(补充),1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(1),若一个函数是奇函数, 则这个函数的图象,过原点.,这是个假命题.,奇函数的图象过原点, 必须保证,定义域包
7、含 0.,如 是奇函数, 但图象不过原点.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(2),若一个角的正弦函数值为正, 则这个角的终,边在第一象限.,这是个假命题.,正弦函数值为正的角, 其终边可能,在第二象限, 也可能与 y 轴的非负半
8、轴重合.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(3),若两条直线不相交, 则这两条直线不可能都,是平行线.,这是个真命题.,不相交的两条直线不会都是平行线,它们有可能平行, 有可能异面.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q”
9、的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(4),若函数 f(x) 满足 f(a)f(b)0, 则函数 f(x) 在,区间 (a, b) 内无零点.,这是个假命题.,f(x) 在区间 a, b 内不是单调函数时,即使 f(a)f(b)0, 在区间 (a, b) 内, f(x) 也可能有
10、零点.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(5),若一个数列的递推式为 an+1=kan (k0),则这个数列是等比数列.,这是个假命题.,数列的各项为 0 时, 结论就不成立.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式
11、, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a,
12、b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(6),若两非零向量互相垂直, 则这两个向量的和,与差的模相等.,这是个真命题.,两向量的和向量与差向量的模, 是以,这两向量为邻边的平行四边形的两条对角线长.,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,矩形的两条对角线相等.,分析:,如图,当向量 a, b 的夹角为,120时, |c|=|a+b|=1.,要使 |c|1,a 与 b 的夹角必须小于120, 直到,a 与 b 同向,同理,即 q0, 120).,a, b 的夹角为60时, |c|=|a-b|
13、=1.,要使 |c|1,a, b 的夹角需大于60, 直到 a, b 反向.,A,【课时小结】,1. 命题,用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题, 判断为假的语句叫做假命题.,命题通常由 “条件” 和 “结论” 两部份组成, 写成 “若 p, 则 q” 的形式, p 是命题的条件, q 是命题的结论.,【课时小结】,2. 命题的真假判断,命题的两个属性: 结构属性和内容属性.,结构属性的特点是 “若 p, 则 q”,即由条件和结论两部分组成.,判断命题的真假就是分析它的内容属性.,判断命题真假的实质是考查掌握各方面数学知识的情况.,练习: (
14、课本第 4 页),第 1、2、3 题.,习题 1.1,A 组,第 1 题.,练习: (课本第 4 页),1. 举出一些命题的例子, 并判断它们的真假.,如:,若 x=1, 则 |x|=1.,若 |x|=1, 则 x=1.,若 b2-4ac0, 则方程 ax2+bx+c=0 有两不等实根.,若直线 a平面a, 直线 b/a, 则 b/a.,若 D2+E2-4F0, 则方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的图,若 sina0, 则 0ap.,形是一个圆.,若 aAB, 则 aA.,真,假,假,假,假,假,真,2. 判断下列命题的真假: (1) 能被 6 整除的整数一定能被 3 整除; (2) 若
15、一个四边形的四条边相等, 则这个四边形是正方形; (3) 二次函数的图象是一条抛物线; (4) 两个内角等于45的三角形是等腰直角是角形.,解:,(1)(3)(4)为真命题, (2)是假命题.,3. 把下列命题改写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断它们的真假: (1) 等腰三角形两腰的中线相等; (2) 偶函数的图象关于 y 轴对称; (3) 垂直于同一个平面的两个平面平行.,解:,(1),若三角形是等腰三角形, 则它两腰的中,线相等.,此命题是真命题.,(2),若函数是偶函数, 则它的图象关于 y 轴对称.,此命题是真命题.,(3),若两个平面垂直于同一平面, 则这两个平面,平行.,
16、此命题是假命题.,习题 1.1,A 组,1. 判断下列语句是不是命题: (1) 125; (2) 若 a 为正无理数, 则 也是无理数; (3) x1, 2, 3, 4, 5; (4) 正弦函数是周期函数吗?,解:,(1)(2) 是命题.,(3) 不是命题, 因为不能判断真假.,(4) 不是命题, 因为不是陈述句.,1.1.2 四种命题,1.1.3 四种命题的相互关系,返回目录,1. 什么是一个命题的逆命题、否命题、逆否命题?,2. 原命题, 逆命题, 否命题, 逆否命题各相互之间是什么关系?,3. 一个命题的逆命题, 否命题和逆否命题的真假性是否有联系?,问题1. 下列四个命题中, 命题 (1) 与命题 (2) (3) (4) 的条
