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1、1,第二节 偏导数与全微分,一偏导数的定义及计算法:,定义1,固定不变时，,即,一元函数,存在，,记作,或,即,当,2,3,说明:,3.,4,解,解,法一：,法二：,5,例3 已知理想气体状态方程pV=RT（R为常数），求证：,证,因为,所以,6,二元函数偏导数的几何意义:,7,例4 求函数,在原点处的偏导数.,解,本例说明, 二元函数在某一点处各偏导数都存在, 但未必连续.,例5,二元函数的连续性与偏导数的关系,解,不存在，同理,也不存在,8,一元函数在一点处可导则一定在该点连续，但二元函数在一,点处偏导数存在，它在该点处不一定连续。一元函数在一点处,不连续则在该点处一定不可导，但二元函数在
2、一点处不连续，,它在该点处偏导数可能存在。,原因,本例说明：二元函数在一点处偏导数不存在，但在该点连续,9,二、高阶偏导数,二阶混合偏导数,二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.,类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，,P-113,10,解,再求,多元初等函数的各阶偏导数在其定义域内都是连续的，它们的,混合偏导数总是相等,11,证,由自变量的对称性知,(拉普拉斯方程),12,三全微分的定义,P-114,全微分：,记作,13,引理:,事实上,连续是可微的必要条件,14,证,固定 y ，则,同理可证,证毕.,由,?,15,叠加原理也适合二元以上的函数，如,16,在（0,0）处偏导数存在,在（0,0）不连
3、续，故不可微。,偏导数存在，一定可写出,注：函数的各偏导数存在只是函数可微的必要条件，而不是,充分条件。,17,例如，函数,？,18,反之不一定成立，因为偏导数存在且连续是可微的充分条件而 非必要条件。如下例 p-116,19,在（0,0）处可微，但偏导数不连续。,证明（1）,20,注：1.分段函数分界点处的偏导数和可微性都需要用定义求 解或讨论。,2.定理1.2把判断函数在一点是否可微与求微分的问题归结,为求偏导数和检验偏导数是否连续的问题了。可以推广到多,元函数。多元初等函数的各阶偏导数在其定义域内都是连续,的，所以多元初等函数在上述定义域内可微,21,解,例1.求下列函数的全微分:,（1）,（2）,（3）,22,二元函数中极限、连续、偏导数、可微分之间的关系：,23,偏导数,偏导(函)数,全微分,全增量,偏导数的几何意义；高阶偏导数及求法。,二元函数可微,24,证,25,解,26,解,27,再由已知条件，知,（2）,两边求对u的不定积分，得,则,由自变量的对称性，得,则,28,证：,由拉格朗日中值定理：,29,同理：,则：,即,所以,
