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1、高考函数压轴题训练（含详细答案）高考函数压轴题训练（含详细答案） 1 1近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知， 并发布了当前国内市场 185 种适销工业品和 42 种滞销产品的参考目录为此，一公司举行某产 品的促销活动，经测算该产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 (其中，a 为正常数)已知生产该产品还需投入成本 10+2P 万元(不含 促销费用)，产品的销售价格定为元件 (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 2 2已知函数，. （1）若，是否存在、
2、，使为偶函数，如 果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由； （2）若，求在上的单调区间； （3）已知，对，有成立，求的取 值范围. 3 3已知. （）当时,判断的奇偶性,并说明理由； （）当时,若,求的值； （）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围. 4 4（本小题满分 12 分）某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测： 服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间 （单位：小时）之间近似满足如图所示 的曲线 （）写出第一次服药后与 之间的函数关系式； （）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 微克时，治疗有效问：服药多少小时开始 有治疗效果？治
3、疗效果能持续多少小时？（精确到 01）（参考数据：） 5 5噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝） 由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量. （1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量 关系式； （2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为 30 分贝；当人们正常说话， 声音能量为时，声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音，一般人 在 100 分贝120 分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性 失聪. 6 6“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，
4、 新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处 理量 x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为： 且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为 200 元，若该项目不获利，政府将 补贴. (1)当 x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府 每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损； (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 7 7设函数 （1）求函数在上的值域； （2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得； （3）求的值 8 8已知在区间上是增函数. （1）求实数的值组成的集合
5、； （2）设关于的方程的两个非零实根为、试问：是否存在实数， 使得不等式对任意及恒成立？若存在， 求的取值范 围；若不存在，请说明理由. 9 9设函数. () 若函数在上为增函数, 求实数的取值范围； () 求证：当且时,. 1010己知函数 f(x)=e x，x R. (1)若直线 y=kx+1 与 f(x)的反函数图象相切，求实数 k 的值； (2)设 x0，讨论曲线 y=f(x)与曲线 y=mx 2(m0)公共点的个数； (3)设，比较与的大小并说明理由。 1111已知函数，点、在函数 的图象上， 点在函数的图象上，设 （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和为； （3） 已知
6、， 记数列的前项和为， 数列 的前项和为，试比较与的大小 1212已知函数（其中是实数常数，） （1）若，函数的图像关于点（1，3）成中心对称，求的值； （2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围； （3）若 b=0，函数是奇函数，且对任意时，不等式 恒成立，求负实数的取值范围 1313已知函数 当时，若函数存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数； 当时， 若对任意的， 总存在， 使成立， 求实数的 取值范围. 1414已知函数满足：对任意，都有成 立，且时， （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性并加以证明； （3）若在上递减，求实数的取值范围 1515设函数()
7、 （1）若为偶函数，求实数的值； （2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围 参考答案参考答案 1.解析： （1）由题意知， 将代入化简得： ， （） ，6分 （2）， 当且仅当时，上式取等号.9分 当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大; 当时,在上单调递增,所以在时,函数有最大值促销费 用投入万元时，厂家的利润最大 . 综上述,当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大; 当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .12分 2.解析： （1）存在使为偶函数，证明如下： 此时：，为偶函数， （注：也可以 （2）， 当时，在上为增函数， 当时，令则， 当时，在上为减函数， 当时，在上
8、为增函数， 综上所述：的增区间为，减区间为； （3）， ，成立。 即： 当时，为增函数或常数函数， 综上所述：. 3.解析： （）当时,既不是奇函数也不是偶函数 , 所以既不是奇函数,也不是偶函数3分 （）当时, 由得 即或 解得或（舍） ，或. 所以或8分 （）当时,取任意实数,不等式恒成立, 故只需考虑,此时原不等式变为 即 故 又函数在上单调递增,所以; 对于函数 当时,在上单调递减,又, 所以,此时的取值范围是13分 4.解析： （）根据图象知：当时，； 当时，由时，得 所以，即 因此 （）根据题意知： 当时，； 当时， 所以 所以， 因此服药小时（即分钟）开始有治疗效果，治疗效果能持
9、续小时. 5.解析： （1） 2分 4分 6分 （2）由题意得8分 10分 13分 答：当声音能量时，人会暂时性失聪.14分 6.解析：(1)当时，设该项目获利为，则 ，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时， 取得最大值，政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损. (2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为： 当时，当时，取得最 小值240； 当时，.当且仅当 ，即时，取得最小值200.2001时有 f(x)f(1)=0.即.取.则， .即有.所以 . 10.解析：(1)f(x)的反函数.设直线 y=kx+1与相切于点，则 .所以4分 (2)当 x0,m0时,曲线 y=f(x)与曲线的公
10、共点个数即方程根的个数. 5 分 由，令， 则在上单调递减，这时；在上单调递增，这 时；所以是的最小值.6分 所以对曲线 y=f(x)与曲线公共点的个数,讨论如下: 当 m时,有0个公共点; 当 m=,有1个公共点; 当 m有2个公共点;8分 (3)设 9分 令，则， 的导函数， 所以在上单调递增， 且， 因此，在上单调递增，而，所以在上.12分 当时，且即， 所以当时，14分 11.解析： （1）由题有： 3分 （2）， 8分 （3）， 由知 ， 而，所以可得 于是 当时； 当时， 当时， 下面证明：当时， 证法一： （利用组合恒等式放缩） 当时， 当时，13分 证法二： （数学归纳法）证明
11、略 证法三： （函数法）时， 构造函数， 当时， 在区间是减函数， 当时， 在区间是减函数， 当时， 从而时，即当时， 12.解析：(1)， 类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是 又函数的图像的对称中心是， (2)由(1)知， 依据题意，对任意，恒有 若，则，符合题意 若，当时，对任意，恒有，不符合题意 所以，函数在上是单调递减函数，且满足 因此，当且仅当，即时符合题意 综上，所求实数的范围是 (3)依据题设，有解得 于是， 由，解得 因此， 考察函数，可知该函数在是增函数，故 13.解析：令， 函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点， 则即 所以所求实数 a 的取值范围是.3分 当时，
12、2个零点；当或，1个零点7分 当时， 所以当时，记. 由题意，知，当时，在上是增函数， ，记. 由题意，知 解得9分 当时，在上是减函数， ，记. 由题意，知 解得11分 综上所述，实数 m 的取值范围是.12分 14.解析： （1）令,则, 即,解得或 若，令,则, 与已知条件矛盾. 所以 设，则，那么. 又 ，从而 （）函数在上是增函数 设，由（）可知对任意 且 故，即 函数在上是增函数。 （）由（）知函数在上是增函数 函数在上也是增函数， 若函数在上递减， 则时， 即时， 时， 15.解析： （1）若的为偶函数，则 ,， 故， 两边平方得，展开 时，为偶函数。 （2） 设， 求,即的最小值： 若，； 若， 求,即的最小值 , 比较与,的大小： ，故 “对恒成立”即为“（）” 令，解得。
