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1、二项式定理的发现与推广,科学发现系列讲座,二项式定理的发现,通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:,二项式定理的发现,为了便于看出规律，我们把它补充完整:,二项式定理的发现,为了便于研究其中的规律, 1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数. 他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和. 用公式表示为:,这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。,二项式定理的发现,通过进一步研究， 1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:,1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。,二项式定理的推广1,上面得到的结果只适用于指数为自然数的
2、情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢? 1665年，牛顿对此进行了研究。 他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：,为了便于比较，我们把二项式定理改写为：,二项式定理的推广1,经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。 这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。 这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：,二项式定理的推广1,这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时，有：,验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。,二项式定理的推广1,然而，仅仅
3、凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？ 牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。 1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。,二项式定理的推广2,二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的n次幂，这时该怎么办？ 最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。 例如，对于三项和的n
4、次幂，可以如下计算,二项式定理的推广2,具体写出来是,二项式定理的推广2,为了保持展开后的对称性，我们把展开式写成,二项式定理的推广2,把公式中字母的系数提取出来 经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。 四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。,二项式定理的推广2,同样的方法，我们可以得到四项和的n次幂的计算公式,二项式定理的推广2,为了看出多项和n次幂的计算公式的一般规律，我们把前面得到的结果列在一起：,二项式定理的推广2,通过认真观察，我们不难发现以下规律： 1）展开式中各个字母的指数和为n； 1）系数的分子都是n！，分母为指数阶乘之积； 3）求和条件
5、为各指数均非负，且和为n 于是，我们可以把这些展开式统一表达为,二项式定理的推广3,上面得到的就是多项式定理，你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗？ 大胆的试试看，你的创造力会得到激发和锻炼。,1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。20.9.620.9.6Sunday, September 6, 2020 2、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。07:05:4807:05:4807:059/6/2020 7:05:48 AM 3、越是没有本领的就越加自命不凡。20.9.607:05:4807:05Sep-206-Sep-20 4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。07:05:4807
6、:05:4807:05Sunday, September 6, 2020 5、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。20.9.620.9.607:05:4807:05:48September 6, 2020 6、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2020年9月6日星期日上午7时5分48秒07:05:4820.9.6 7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2020年9月上午7时5分20.9.607:05September 6, 2020 8、业余生活要有意义，不要越轨。2020年9月6日星期日7时5分48秒07:05:486 September 2020 9、一个人即使已登上顶峰
7、，也仍要自强不息。上午7时5分48秒上午7时5分07:05:4820.9.6 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。9/6/2020 7:05:48 AM07:05:482020/9/6 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。9/6/2020 7:05 AM9/6/2020 7:05 AM20.9.620.9.6 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。6-Sep-206 September 202020.9.6 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, September 6, 20206-Sep-2020.9.6 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。20.9.607:05:486 September 202007:05,谢谢大家,
