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1、,期权定价：二叉树方法,浙江大学数学系 李胜宏（13018973561） ,一个简单的二叉树模型,股票的现价为 $20 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18,Stock Price = $22,Stock Price = $18,Stock price = $20,Stock Price = $22 Option Price = $1,Stock Price = $18 Option Price = $0,Stock price = $20 Option Price=?,一份看涨期权,一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格为$ 21.,一个简单的二叉树模型,股票的现价为 $
2、20 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18,Stock Price = $22,Stock Price = $18,Stock price = $20,考虑一个资产组合:持有 D 份股票 成为一份看涨期权的空头 当 22D 1 = 18D or D = 0.25，资产组合是无风险的,构造无风险资产组合,资产组合的估值( 无风险利率为 12% ),无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头 三个月后组合的价值为 220.25 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e 0.120.25 = 4.3670,期权的估值,资产组合为 持有 0.25份股票 成为一份看涨期
3、权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.2520 ) 从而，期权的价格为 0.633 (= 5.000 4.367 ),推广到一般情形,一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T,推广到一般情形(continued),考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头 当 D满足下面的条件时，组合为无风险： SuD u = Sd D d or,SuD u,SdD d,推广到一般情形(continued),组合在时刻 T的价值为 Su D u 组合在时刻0的价值为 (Su D u )erT 组合在时刻0 的价值又可以表达为 S D f 从而 = S D (S
4、u D u )erT,推广到一般情形(continued),于是，我们得到 = p u + (1 p )d erT 其中,Risk-Neutral Valuation, = p u + (1 p )d e-rT 变量 p和 (1 p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率 衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值,p,(1 p ),最初例子的修正,由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523 或者，我们可以利用公式,Su = 22 u = 1,Sd = 18 d = 0,S ,p,(1 p ),期权的估值,期权
5、的价值为 e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633,两步二叉树模型,每步长为3个月,欧式看涨期权的估值,在节点 B的价值 = e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257 在节点 A的价值 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823,20 1.2823,22,18,24.2 3.2,19.8 0.0,16.2 0.0,2.0257,0.0,A,B,C,D,E,F,一个看跌期权的例子：X52,美式期权该如何估值？,1 二叉树期权定价模型 1.1 二叉树模型的基本方法 熟悉 1.2 基本二
6、叉树方法的扩展 熟悉 1.3 构造树图的其他方法和思路 了解 1.4 二叉树定价模型的深入理解 熟悉 2 蒙特卡罗模拟 2.1 蒙特卡罗模拟的基本过程 熟悉 2.2 蒙特卡罗模拟的技术实现 熟悉 2.3 减少方差的技巧 了解 2.4 蒙特卡罗模拟的理解和应用 了解 3 有限差分方法 3.1 隐性有限差分法 熟悉 3.2 显性有限差分法 熟悉 3.3 有限差分方法的比较分析和改进 了解 3.4 有限差分方法的应用 了解,5.6 二叉树定价模型,1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ；,2、下降到原先的 倍，即 。,图5.1 时间内资产价格的变动,把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在
7、每一个时间间隔 内证券 价格只有两种运动的可能：,其中 .如图5.1所示。价格上升的概率假设为 ，下降的概率假设为 。,相应地，期权价值也会有所不同，分别为 和 。,1.二叉树期权定价模型,二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动,1.二叉树期权定价模型,二叉树模型可分为以下几种方法： （一）单步二叉树模型 1.无套利定价法 2.风险中性定价法 3.风险中性定价法 （二）证券价格的树型结构 4.证券价格的树型结构 （三）倒推定价法 5. 倒推定价法 二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例 6.一般定价过程,1.1二叉树模型的基本方法,构造投资组合包
8、括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 则组合为无风险组合,此时,因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得,将 代入上式就可得到：,其中,1.1二叉树模型的基本方法,无套利定价法：,在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：,假设证券价格遵循几何布朗运动，则：,再设定： （第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）,由以上三式可得，当 很小时：,从而,以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。,1.1二叉树模型的基本方法,一般而
9、言，在 时刻，证券价格有 种可能，它们可用符号表示为：,其中,注意：由于 ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。,1.1二叉树模型的基本方法,得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值； 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。,1.1二叉树模型的基本方法,假设把一期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同
10、时用 表示结点 处的证券价格可得： 其中 假定期权不被提前执行， 后，则： （表示在时间 时第j个结点处的欧式看跌期权的价值） 若有提前执行的可能性，则：,1.1二叉树模型的基本方法,1.2基本二叉树方法的扩展,支付连续红利率资产的期权定价,当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的 增长率应该为 ， 因此：,1.2基本二叉树方法的扩展,对于股价指数期权来说， 为股票组合的红利收益率； 对于外汇期来说， 为国外无风险利率， 因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。,支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价） 可通过调整在各个结点上的证券价格，算出
11、期权价格； 如果时刻 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：,如果时刻 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：,若在期权有效期内有多个已知红利率，则 时刻结点的相应的证券价格为：,（ 为0时刻到 时刻之间所有除权日的总红利支付率）,1.2基本二叉树方法的扩展,将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。,假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：,当 时,当 时（表示红利）,在 时刻： 当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：,当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：,（ 为零时刻的 值）,1.2基本二叉树方法的扩
12、展,已知红利额,利率是时间依赖的情形 假设 ，即在时刻 的结点上，其应用的利率等于 到 时间内的远期利率，则：,这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图,1.2基本二叉树方法的扩展,的二叉树图,在确定参数 、 和 时，不再假设 ，而令 ，可得：,该方法优点在于无论 和 如何变化，概率总是不变的,1.3构造树图的其他方法和思路,三叉树图 每一个时间间隔 内证券价格有三种运动的可能： 1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ； 2、保持不变，仍为 ； 3、下降到原先的 倍，即,1.3构造树图的其他方法和思路,一些相关参数：,1.3构造
13、树图的其他方法和思路,控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。 假设： （ 代表期权B的真实价值， 表示关于期权A的较优估计值， 和 表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值） 则期权A 的更优估计值为：,1.3构造树图的其他方法和思路,在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。 即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长 进一步细分，如分为 ，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程,1.3构造树图的其他方法和思
14、路,适应性网状模型,通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。 其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率 隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价,1.3构造树图的其他方法和思路,隐含树图,二叉树图模型的基本出发点： 假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率 ，从而为期权定价,取当前时刻为 ，
15、在给定参数 、 和 的条件下，当 时，二叉树公式：,可以在 进行泰勒展开，最终可以化简为：,在 时，二叉树模型收敛于布莱克斯科尔偏微分方程。,1.4二叉树定价模型的深入理解,Monte Carlo: Based On Probability & Chance,基本思路： 由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现； 因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。,2.1 蒙特卡洛模拟的基本过程,随机路径： 在风险中性世界中， 为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为,
