《线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课课件（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数,矩阵的初等变换与线性方程组 习题课,(1)对调两行(对调i与j两行记为 ) (2)以数 乘第i行的所有元素(记为 ) (3)把某一行所有元素的k倍分别加到另一行对应的元素上去(第j行k倍加到第i行上去,记 ).,一、矩阵的初等变换,2、矩阵A与B 等价,3、矩阵的化简:,可化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形。,1、定义,（一）内容概要,2.矩阵秩的性质,(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数,设A: 型矩阵,则:,(5)即矩阵经初等变换后其秩不变,二、矩阵的秩及其求法,1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.,3.用矩阵的初等变换求矩阵的秩,一般方
2、法：,1）将A用初等变换化为行阶梯形矩阵；,2）R(A)等于A的行阶梯形矩阵的非零行数。,n 阶方阶A的秩R( A )= n,方阵A可逆.,几个等价命题：,三、初等矩阵,1、定义：由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵.,分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、 Eij（k）.,2、初等矩阵的性质：,1）初等矩阵都是可逆矩阵,并且其逆矩阵还是初等矩阵;,2）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的 初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.,【推论1】设A是可逆矩阵,则：,【推论2】两个 型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶
3、可逆矩阵Q,使PAQ=B.,并且：R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A),3、重要结论：,四、初等变换的应用,1、用初等变换求逆矩阵的方法:,2)做初等行变换,注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆矩阵:,2.用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法:,五、线性方程组的解,有解,无解,R(A)=n,有唯一解,R(A) n,有无穷多解,解非齐次线性方程组Ax=b的一般步骤为：,(2) 对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简矩阵；,(3)由行最简矩阵写出同解方程组，取定自由未知量写出 方程组通解；,(1) 对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观 察R(A)= R(B)
4、，,若R(A)= R(B) ，转向2）步；,若R(A)R(B)，则方程组无解，解题完毕；,AX=0 有非零解 r(A)n ；,求矩阵X.,即：,而,解：由于,利用初等变换易得：,例1,（二）例题分析,例2 已知矩阵,的秩为2, 求 t 的值.,解：, r(A)=2 3 t =0, 即 t =3,例3 设线性方程组,的系数矩阵为A,三阶矩阵BO,且AB=O,试求a的值.,【解】由AB=O, BO得:,方程组Ax=0有非零解,R(A)3,例4,解,例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n,所以R(A+E)+R(A-E)=n,证明：由A2=E得：,练习：设A为n阶方阵,
5、E为n阶单位阵.满足A2+5A-4E=0 证明:( A-3E)可逆;并求( A-3E)-1,习题选讲,解(1)：,解(2)：,证：,解：,P80-21,证：,例题 设A为m n阶矩阵，证明:,证：,三、自测题,(一)填空题,48,(二)选择题,3.若一个n阶方阵A的行列式值不为零，则对A进行若干 次矩阵的初等变换后，其行列式的值 (A)保持不变; (B)可以变成任何值; (C)保持不为零; (D)保持相同的正负号,5.设A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B的秩是( ) (A)必有一个等于0 (B)都小于n (C) 一个小于是n,一个等于n (D)都等于n,7.当A等于( )时,8.设A为n阶可逆矩阵,下列( )恒正确.,(三)计算题,且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E 求X.,(四)证明题,1.设A为n阶方阵,E为n阶单位阵.满足A2+5A-4E=0 证明:( A-3E)可逆;并求( A-3E)-1,2.设A为n阶非零方阵;A*是A的伴随阵,AT是A的转置矩阵 证明:当AT=A*时,A可逆.,作业：及时完成CH3大作业,下节内容：CH41 请大家做好预习！,
