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1、1,第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论,地球椭球的数学基础 测量数据计算的数学知识 地图投影的数学理论（地图学）,2,4.1- 旋转椭球面的参数表示及数学性质,1 、椭球方程： 表面上平行于赤道面的纬圈均为圆,3,2、经线和纬线的曲线方程,M0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：,经度为L的经线方程：,在XOZ坐标面上的起始经线方程：,1）、经线方程：,4,2）、纬圈方程：,或：,5,3、地球椭球的几何、物理元素,扁率：,第一偏心率：,第二偏心率：,长半轴：,短半轴：,1）、几何元素,几个关系式：,6,1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：,7,我国1980年大地坐标系采用第
2、16届 IAGIUGG 椭球，其椭球元素为：,2）、地球椭球的几何、物理元素,8,4.2- 常用坐标系及关系,1、大地坐标系： 以大地经度L、大地纬度B和大地高为点的坐标。,注：水准测量的一般为正常高或正高，GPS测量的为大地高,一、 常用坐标系,9,2、天文坐标系：以天文经度 和天文纬度为点的坐标,以铅垂线和水准面为依据,天文子午面：过地面点P的铅垂线和地球旋转轴组成的面。,3、空间直角坐标系：以地心（参心）为原点，以平均自转轴为Z轴，指向平均北极，X轴指向平均起始子午面与平均赤道面的交点，Y轴与XOZ平面垂直而建立的坐标系。,当原点在总地球椭球质心时称地心空间直角坐标系。,当原点在参考椭球
3、质心时称参心空间直角坐标系。,10,在过P点的子午面上，以P点的 子午椭圆中心为原点，长轴为X 轴，短轴为Y轴而建立的平面直 角坐标系。,4、子午面直角坐标系,设P点的大地经度为L，则P点的坐标表示为(L，x，y).,5、地心纬度坐标系,地心纬度：椭球面上一点到地心 的连线与赤道面之间的夹角。,设M点的经度为L，则其地心纬 度坐标为（L， ， ）,若P点的大地高为H，则其坐标为（L， ， ，H）。,11,归化纬度：从子午椭圆上M点作X 轴的垂线，与以长半轴为半径的 圆相交于M,M与椭圆中心O的连 线与X轴的夹角。,6、地心归化纬度坐标系,设M点的经度为L，则其坐标为（L，u）,若M点的大地高为
4、H，则其坐标为（L，u，H）。,在XOY子午面内，有:,12,7、站心地平坐标系,1).大地站心地平坐标系: 以测站P为原点，以P点法线为Z轴，天顶方向为正，以子午线切线方向为 X轴,向北为正，Y轴与XPZ平面垂直，向东为正. Z为天顶距,A为大地方位角,S为M点到站心点的斜距.M点直角坐标(x,y,z), 极坐标为(S,A,Z),13,2).天文站心地平坐标系,8.大地极坐标系,MN为过M点的子午线，S为大地线 的长度，A为大地线S的大地方位角 ，则P点的大地极坐标为（S，A）。 大地极坐标（S，A）可与大地坐标 （L，B）相互换算。,14,二、坐标系间的关系,1、子午平面坐标系与大地坐标系
5、的关系,切线MT的斜率的导数式：,由椭圆方程求导得：,代入第一式得：,2,1,M点子午平面坐标(L，x，y)大地坐标（L，B）,15,引入辅助符号：,则有：,另外,如图可知：,16,2、子午平面坐标系与归化纬度坐标关系,由椭圆的参数方程可知：,3、空间直角坐标同子午面直角坐标的关系,17,4、空间直角坐标同归化纬度坐标的关系,18,5、空间直角坐标与大地坐标的关系,又因为：,所以又有：,1）、M 在椭球面上,19,2）、M不在椭球面上,20,3）、轴空间直角坐标推算大地坐标,其中B要采用迭代法计算,直至两次 之差小于允许误差为止.,21,1)、大地纬度B与归化纬度u的关系,由子午平面坐标系与大
6、地坐标系的关系有:,由子午平面坐标系与归化纬度坐标关系有:,6、大地纬度B，归化纬度u，地心纬度之间的关系,由上可得:,所以大地纬度B与归化纬度u的关系式:,22,2)、大地纬度B与地心纬度的关系,3)、归化纬度u与地心纬度的关系,由子午平面坐标,可得:,所以:,23,大地纬度B，归化纬度u，地心纬度之间的关系公式汇总:,4)、大地纬度B，归化纬度u，地心纬度之间的大小关系：,Bu,三者之间的差异很小。,24,4.3- 椭球面上的几种曲率半径,椭球面上的法截面与法截线 法截面：过椭球面任意点的法线的平面。 法截线：法截面与椭球面的交线。 （1）、过一点有无数个法截线 （2）、过一点的不同方向的
7、法截线的曲率半径不同。 卯酉圈：过某点的法线且与该点的子午面垂直的法截面与椭球的交线。 子午圈与卯酉圈是两条相互垂直的法截线。,25,一、子午圈曲率半径,dS是子午圈上的一段微分弧长，M为子午圈上K点处的曲率半径，由曲率半径的定义有：,如图,由上两式可得,根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有：,因而,目的： M=f (B),26,又,则,进而可得：,而,因而有,即,那么,27,又因为,则,即,或,28,PT是平行圈和卯酉圈的公切线。 麦尼尔定理：通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，另一条为斜截弧，且在该点上两截弧有公共切线，则斜截弧在该点的曲率半径为法截弧在该点的曲率半径乘以两截弧平面夹角
8、的余弦。,根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有：,比较以上两式可知卯酉曲率半徑为：,二、卯酉圈曲率半径,根据以上定理有：,可知，N为P点处卯酉曲率半徑。其長度等於椭球面到短轴的距离Pn,由此可见，卯酉圈曲率部心位于椭球的旋转轴上,29,又因为,则,或,或,30,三、主曲率半径的计算：子午圈曲率半径M与卯酉圈曲率半径N,用级数展开，取至8次项有：,1、子午圈曲率半径M,其中,将相应的椭球参数代入便可求得各系数。,31,2、卯酉圈曲率半径N,用级数展开，取至8次项有：,其中,将相应的椭球参数代入便可求得各系数。,32,或,用级数展开，取到8次项有,其中,33,四、任意法截弧的曲率半径,根据微分几
9、何中的尤拉公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率,因此，任意方向的曲率半径为：,半径的关系为：,将上式分子分母同除以M，并顾及,则有,1,34,用R表示平均曲率半径，根据平均曲率公式有,因而有,可见，RA与方位角A和纬度B有关。 当A为0，时，RA取极小值M， /2， 3/2时，RA取得极大值N。 当A由00900时，RA由MN，当A由9001800时，RA由NM。其变化周期为1800，并关于子午圈和卯酉圈对称。 由此可知：NRAM,35,五、平均曲率半径 过曲面上任意一点的所有方向的法截弧曲率半径RA的算术平均值，用R表示。 我们知道，当A由00900时，RA由MN，所以只要计算该区间的
10、平均值则可。,36,M、N、R的关系：,M、N、R计算公式对照：,由于,可知,因而有：,可见,R为主曲率半径的几何平均值.,37,4.4- 椭球面上的弧长计算,一、子午弧长的计算 从赤道E开始到纬度为B的P点之间的子午弧长。,如图可知,E,则,38,将上式代入,积分后整理得：,由于最后一项很小，通常忽略不计。,根据克拉索夫斯基椭球元素，子午弧长计算公式为：,根据1975年国际椭球元素，子午弧长公式为：,39,公式的应用： （1）.计算子午圈长： 将B=900代入一个象限内的子午弧长，其4倍为子午圈长,（2）.同一子午圈上两个纬度为B1，B2的点之间的弧长计算:,、X=X2-X1， 其中X1为赤
11、道至纬度为P1的点之间的弧长； X2为赤道至纬度为P2的点之间的弧长。,、也可直接将X展开为B=B2-B1的级数：,由式,在P1点处展开，得：,1,40,得：,1,41,也可在Pm处展开：,代入相关数值得：,对于小于40km的弧长，可进一步简化为：,42,（3）、由X计算B的反算公式：,进而可得：,对于小段弧，则可用下式求B ：,43,二、由子午线长度球大地纬度：,1、迭代法：（采用克拉索夫斯基椭球参数计算）,第一步：计算Bf的初始值：,以后每步按下式反复迭代计算：,计算步骤：,根据子午弧长计算公式,44,2、直接法：（采用1975年椭球参数计算）,令,则,利用三角级数回代公式：,根据弧长计算
12、公式,可得：,45,三、平行圈的半径与弧长,可见，相同经差在不同纬度的平行圈上的弧长是不同的，在赤道最长，越靠近两极越小。,由子午平面直角坐标与大地坐标的关系可知平行圈半径：,那么，平行圈上两点之间的弧长为：,46,将相应的偏导数代入有：,令,，由于,则,针对相同经度差，比较不同纬度上弧长的变化：,47,四、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 单位纬度差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长，而单位经度差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。 如右图： AB-BC 缓慢减少 BD-CE 急剧缩短,48,五、利用经纬格网计算椭球面的面积,如图可知，椭球面梯形面积微分可用下列式子表示：,那么，椭球面梯形面
13、积为：,49,据此可以计算整个地球椭球面积约为5.1亿km2. 如果假设地球为圆球，则表面积为4R2=R=6371km,将（1-e2sin2B）-2展开为级数,则:,将L2-L1=2,B1=0,B2= /2代入上式,并将其值乘以2,则可得地球椭球的全面积PE.,50,4.5- 大地线,如图，AB两点纬度不同，在A点安置经纬仪照准B点（设不考虑垂线偏差，即铅垂线与法线重合）。 A点的法线（铅垂线）与B点的法线（铅垂线）不共面。 说明A-B点的照准面与B-A点的照准面不重合。 AB之间存在两条法截线。,一、法截弧与相对法截弧,引言 法截弧：过椭球面上某点的法线的法截面与椭球面相交得到的曲线 问题：
14、某点上安置经纬仪，照准面？,51,如图，AB两点纬度不同，在A点安置仪器观测B点，照准面与椭球面的交线AaB称A点的正法截线，或B点的反法截线；在B点安置仪器观测A点，照准面与椭球面的交线BbA称B点的正法截线，或A点的反法截线。AaB与BbA称A、B两点的相对法截线。,相对法截弧： A到B的法截弧与B到A的 法截弧称为相对法截弧。,1、定义,52,2、法截弧的性质 纬度不同的两点其正反法截弧不重合 过A、B两点的法线交短轴于na 、n b ，B1B2时，onaonb, na与nb不重合。当两点不再同一子午圈上也不在同一平行圈上时，两点间有两条法截弧。当两点在同一子午圈上或同一平行圈上，两点间
15、只有一条法截弧，即正反法截线重合。,如图可知：,而,所以,可见，当B1B2时，OnaOnb, na与nb不重合。,思考：若AB两点纬度相同，AB之间存在几条法截线？为什么？ 若经度相同，情况又如何？,53,、某点的纬度愈高，其法线与短 轴的交点愈低，即当B2B1时， Onb Ona,则法截线BbA偏上， 而 AaB偏下。,54, 、由于当纬度不同时正反法 截线不重合，故在椭球面上A、B、C三点所测角度不能构成闭合三角形。 解决办法： 用大地线代替 相对法截线,55,二、大地线（测地线）,（1）、定义：椭球面上两点间最短程曲线。,、大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的法
16、线。即大地线上各点的法线与曲面法线重合。各点的法线不相交，大地线是空间曲线。,、大地线上任何点的密切面就 是该点的法截面；,（2）、大地线的性质,、曲面上连接任何两点的最短曲线必为大地线。,、大地线的曲率,显然,子午圈和赤道及其上的弧段都是大地线.,56,（3）、正反法截线之间的夹角,（4）、大地线与正法截弧之间的夹角为：,在一等三角测量中，可达千分之一二秒，不容忽视。,（5）、大地线与法截线长度之差只 有百万分之一毫米，可以忽略。,在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据，在地面上测得的方向、距离、角度等，应当归算到相应大地线的方向、距离、角度。,57,三、大地线的微分方程和克莱劳方程,1、大地线的微分方程:即dL、dB、dA与dS 之间的关系式,如图，P为大地线上任意一点，其经度为L，纬度为B，该点 处大地线方位角训A，当大地线增加dS到P1点时，L，B，A 的变化相应为dL、dB、dA、dS 。,dS在子午圈上分量P1P2=MdB,dS在平行圈上分量PP2=rdL=NcosBdL,又
