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1、1,2.1 合情推理与演绎推理,第二章 推理与证明,2.1.1 合情推理,2,问题提出,1.推理是人们思维活动的过程，在日常活动和科学研究中，我们必须要通过推理来思考问题.,2.推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，在一定的条件和背景下，我们常通过推理提出问题，发现结论，引出性质.,3,3.推理必须是“合乎情理”的，并遵循一定的逻辑规律.因此，研究、总结推理中合乎情理的逻辑规律，是一个需要我们探讨的课题.,4,合情推理,5,探究（一）：归纳推理,思考1：我们知道，三角形的内角和为180，四边形的内角和为360，五边形的内角和为540，由此归纳猜想，n边形的内角和为多少度？
2、,(n2)180,6,思考2：二百多年前，德国数学家哥德巴赫在研究自然数时偶然发现： 633， 835， 1037， 1257，1477, 16511，于是他提出了一个猜想，你认为他猜想出一个什么结论？,任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.,7,思考3：在逻辑上，上述推理称为归纳推理（简称归纳），那么归纳推理的含义是什么？,由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理.,8,思考4：归纳推理的思维过程大致分哪几个步骤？,实验、观察概括、推广 猜测一般结论.,思考5：一个口袋里装有许多球，每次从中取出一个球，先后取20
3、次均为白球，由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？,9,思考6：对于等式：122334n(n1)3n23n2，当n=1，2，3时等式成立吗？能否由此断定这个等式对所有正整数n都成立？,思考7：应用归纳推理可以发现一般结论，其不足之处是什么？,由归纳推理得出的结论不一定正确，其真实性有待进一步证明.,10,探究（二）：类比推理,思考1：据说我国古代工匠鲁班从带齿的草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯；人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等.这种在发明创造活动中运用的方法，称为类比推理.你还能列举出这样的实例吗？,11,思考2：科学
4、家们发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等.运用类比推理，你有什么猜想？其推理过程是怎样形成的？,猜想：火星上也可能有生命存在.,12,思考3：球与圆在形状和概念上都有类似的地方，如二者都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合.对于圆，圆有切线，切线与圆只有一个公共点，圆心到切线的距离等于圆半径，平面内不共线的三个点确定一个圆.运用类比，你能推测球可能有哪些类似的性质？,球有切平面，切平面与球只有一个公共点，球心到切平面的距离等于球半径，空间中不共面
5、的四个点确定一个球.,13,思考4：类比圆的特征，下表中球的相关特征分别是什么？,球的方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2,与球心距离相等的两截面积相等，与球心距离不等的两截面积不等，距球心较近的截面积较大.,球心与截面（非大圆）圆心的连线垂直于截面,球的体积,球的面积,14,思考5：上述推理都是类比推理，一般地，类比推理的含义是什么？,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.,思考6：类比推理的思维过程大致分哪几个步骤？,观察、比较联想、类推猜测类似结论.,15,思考7：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理的过程大致是什么？,
6、从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想.,16,理论迁移,例1 已知数列an满足：a11， 且 （nN*），试推测数 列an的通项公式，并判断其真实性.,归纳： .,17,例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并判断其真实性.,定理：若ACBC，则AC2BC2AB2；,类比：若PAPB，PAPC，PBPC，则,18,小结作业,1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，应用归纳推理可以发现某类事物的一般规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的方法.,2.类比推理是由特殊到特殊的推理，它可以由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和
7、作出新发现，但它也不能作为数学证明的方法. .,19,3.由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可以为我们的研究提供一种思路和方向.,作业： P7778练习：1，2，3.,20,归纳推理的应用（习题课）,21,知识回顾,1.归纳推理的含义：,由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.,2.归纳推理的思维过程：,实验、观察概括、推广 猜测一般结论.,22,例1 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？,2n1次,23,例2 平面上有n（nN*，n2）条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，试推测：这n条直线一共有多少个交点.,24,例3 已知数列 满足: ,试推测数 列 的通项公式.,
