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1、31数学归纳法原理读教材填要点1数学归纳法原理对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题p(n),可以用以下两个步骤来证明它的正确性:(1)证明当n取初始值n0(例如n00,n01等)时命题成立;(2)假设当nk(k为自然数,且kn0)时命题正确,证明当nk1时命题也正确在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确2数学归纳法的基本过程 小问题大思维1在数学归纳法中,n0一定等于0吗?提示:不一定n0是适合命题的自然数中的最小值,有时是n00或n01,有时n0值也比较大,而不一定是从0开始取值2数学归纳法的适用范围是什么?提示:数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关
2、的数学命题的证明3数学归纳法中的两步的作用是什么?提示:在数学归纳法中的第一步“验证nn0时,命题成立”,是归纳奠基、是推理证明的基础第二步是归纳递推,保证了推理的延续性,证明了这一步,就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有自然数也都成立用数学归纳法证明恒等式例1用数学归纳法证明:1(nN)思路点拨本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用,解答本题需要注意等式的左边有2n项,右边有n项,由k到k1时,左边增加两项,右边增加一项,而且左、右两边的首项不同,因此由“nk”到“nk1”时,要注意项的合并精解详析(1)当n1时,左边1,右边,命题成立(2)假设当nk(k1,且kN)时命题成立,
3、即有1.则当nk1时,左边1,从而可知,当nk1时,命题亦成立由(1)(2)可知,命题对一切正整数n均成立(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点:一是准确表述nn0时命题的形式,二是准确把握由nk到nk1时,命题结构的变化特点(2)应用数学归纳法时的常见问题第一步中的验证,对于有些问题验证的并不是n0,有时需验证n1,n2.对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障“假设nk时命题成立,利用这一假设证明nk1时命题成立”,这是应用数学归纳法证明问题的核心环节,对待这一推导过程决不可含糊不清,推导的步骤要完整、严谨、规范1用数学归纳法证明:对任意
4、的nN,.证明:(1)当n1时,左边,右边,左边右边,等式成立(2)假设当nk(kN且k1)时等式成立,即有,则当nk1时,所以当nk1时,等式也成立由(1)(2)可知,对一切nN等式都成立用数学归纳法证明整除问题例2求证:二项式x2ny2n(nN)能被xy整除思路点拨本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用,解答本题需要设法将x2ny2n进行分解因式得出xy,由于直接分解有困难,故采用数学归纳法证明精解详析(1)当n1时,x2y2(xy)(xy),能被xy整除(2)假设nk(k1,且kN)时,x2ky2k能被xy整除,当nk1时,即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2
5、(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除,x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时,x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知,对任意的正整数n命题均成立利用数学归纳法证明整除问题时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式,这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧,例如,在本例中,对x2k2y2k2进行拼凑,即减去x2y2k再加上x2y2k,然后重新组合,目的是拼凑出nk时的归纳假设,剩余部分仍能被xy整除2求证:n3(n1)3(n2)3能被9整除证明:(1)当n1时,13(11)3(12)336,能被9整除,命题成立(2)假设nk时,
6、命题成立,即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时,(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)由归纳假设,上式中k3(k1)3(k2)3能被9整除,又9(k23k3)也能被9整除故nk1时命题也成立由(1)(2)可知,对任意nN*命题成立.用数学归纳法证明几何命题例3平面上有n(n2,且nN)条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条不过同一点,求证:这n条直线被分成f(n)n2.思路点拨本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用,解答本题应搞清交点随n的变化而变化的规律,然后采用数学归纳法证明精解详析(1)当n2时,符
7、合条件的两直线被分成4段,又f(2)224.当n2时,命题成立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立,就是该平面内满足题设的任何k条直线被分成f(k)k2段,则当nk1时,任取其中一条直线记为l,如图,剩下的k条直线为l1,l2,lk.由归纳假设知,它们被分为f(k)k2段由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,所以直线l被l1,l2,l3,lk分为k1段,同时l把l1,l2,lk中每条直线上的某一段一分为二,其增加k段f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.当nk1时,命题成立由(1)(2)可知,命题对一切nN且n2成立对于几何问题的证明,可以从有限情形中归纳出一般变化规律,或
8、者说体会出是怎么变化的,然后再去证明,也可以采用递推的办法利用数学归纳法证明几何问题时,关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律3证明:凸n边形的对角线的条数f(n)n(n3)(n4)证明:(1)n4时,f(4)4(43)2,四边形有两条对角线,命题成立(2)假设nk时命题成立,即凸k边形的对角线的条数f(k)k(k3)(k4)当nk1时,凸k1边形是在k边形基础上增加了一边,增加了一个顶点Ak1,增加的对角线条数是顶点Ak1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak,共增加的对角线条数为(k13)1k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故nk1
9、时由(1)、(2)可知,对于n4,nN公式成立对应学生用书P42 一、选择题1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中,第二步nk时等式成立,则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析:由条件知,左边是从20,21一直到2n1都是连续的,因此当nk1时,左边应为12222k12k,而右边应为2k11.答案:D2用数学归纳法证明:(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)时,从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A2k1BC2(2k1) D解析:当nk1时,左边(k11)(k
10、12) (k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1)答案:C3某个命题与正整数n有关,如果当nk(kN)时命题成立,那么可推得当nk1时,命题也成立现已知当n5时该命题不成立,那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析:与“如果当nk(kN)时命题成立,那么可推得当nk1时命题也成立”等价的命题为“如果当nk1时命题不成立,则当nk(kN)时,命题也不成立”故知当n5时,该命题不成立,可推得当n4时该命题不成立答案:C4用数学归纳法证明不等式1(nN)成立,其初始值至少应取()A7 B8C9
11、 D10解析:左边12,代入验证可知n的最小值是8.答案:B二、填空题5设f(n)1(nN),则f(n1)f(n)等于_解析:因为f(n)1,所以f(n1)1.所以f(n1)f(n).答案:6设平面内有n条直线(n2),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)_;当n4时,f(n)_(用n表示)解析:f(2)0,f(3)2,f(4)5,f(5)9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数所以f(3)f(2)2,f(4)f(3)3,f(5)f(4)4,f(n)f(n1)n1.累加,得f(n)f(2)234(n1)(n2)所以f(
12、n)(n1)(n2)答案:5(n1)(n2)7已知n为正偶数,用数学归纳法证明12时,若已假设nk(k2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n_时等式成立解析:nk(k2,且k为偶数)的下一个偶数为k2,根据数学归纳法的步骤可知再证nk2.答案:k28用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)sin cos (n,nN),在验证n1等式成立时,左边计算所得的项是_解析:由等式的特点知:当n1时,左边从第一项起,一直加到cos(2n1),故左边计算所得的项是cos .答案:cos 三、解答题9用数学归纳法证明:.证明:(1)当n1时,左边,右边,等式成立(2)假设当nk时,等式成立,即,则当nk1时,即当nk1时,等式成立根据(1)(2)可知,对一切nN,等式成立10用数学归纳法证明对于整数n0,An11n2122n1能被133整除证明:(1)当n0时,A011212133能被133整除(2)假设nk时,Ak11k2122k1能被133整除当nk1时,Ak111k3122k31111k21