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1、结构力学 II,第12章 结构的极限荷载,结构的弹性分析和设计：,12.1 概述,基本假定：第一，结构的材料服从虎克定律，应力与应变成正比； 第二，结构的变形和位移都是微小的。,内力计算和位移计算都可以应用叠加原理,弹性设计时的强度条件：,结构的塑性分析和设计：,充分估计结构在超越屈服极限以后的承载能力。,塑性设计时的强度条件：,极限状态与极限荷载： 结构变形随荷载增加而增大。当荷载达到某一临界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载称为极限荷载，,计算假定：,材料为理想弹塑性材料。,弹性阶段：OA段应力与应变成正比，=E； 塑
2、性阶段：AB段，应力达到屈服极限y，应变达y=y/E时；AB平行于轴，应力=y为常量而应变可无限增长。 卸载规律：塑性阶段的某一点C卸载，相应的路径如图中平行于AO的虚线CD所示，即卸载的规律与弹性阶段相同。 残余应变：当应力减至零时，材料有残余应变，如图中OD。,本章采用比例加载的假定： 所有的荷载均为单调增加，不出现卸载现象； 在加载过程中，所有的荷载均保持固定的比例，因而可以用同一个参数（荷载因子）的倍数来表示。,12.1 概述,12.2 极限弯矩和塑性铰,12.2.1极限弯矩,承受纯弯曲作用的等截面梁，且截面有一根对称轴，弯矩M作用在梁的对称面内。,实验表明，在梁的变形过程中，无论弹性
3、阶段还是塑性阶段，梁的任一横截面始终保持为平面，即在塑性阶段仍然可以沿用 “平截面假定”。,随着弯矩的增大，梁的各部分逐渐由弹性阶段发展到塑性阶段。,12.2 极限弯矩和塑性铰,(1) 弹性阶段，如图(b)所示：,(2) 弹塑性阶段，如图(c)、(d)、(e)所示： 弯矩增加到屈服弯矩My后，上边缘开始屈服； 随着M继续增大，弹性区逐渐缩小，塑性区逐渐扩大； 在这一过程中，中性轴逐渐偏离形心轴而下移；,中性轴与形心轴重合。,12.2.1极限弯矩,12.2 极限弯矩和塑性铰,(3) 极限状态，如图 (f)所示： 弯矩增加的极限状态是弹性区终于消失，上下两个塑性区连成一片，整个截面上正应力的绝对值
4、都达到了屈服极限。极限状态的弯矩是截面所能承受的最大弯矩，记作Mu，称为极限弯矩。,12.2.1极限弯矩,12.2 极限弯矩和塑性铰,设极限状态截面受拉区和受压区面积分别为A1和A2，由平衡条件可知,在极限状态下，截面的受拉区面积和受压区面积相等，中性轴重合于截面的等面积轴，可得极限弯矩：,S1和S2分别为受拉区面积A1和受压区面积A2对等面积轴的静矩； WS称为截面的塑性抵抗矩；,极限弯矩,12.2.1极限弯矩,12.2 极限弯矩和塑性铰,截面的形式系数,反映截面在弹性阶段之后抵抗更大弯矩的潜力,对于宽度和高度各为b和h的矩形截面，,矩形截面的极限弯矩为屈服弯矩的1.5倍,对于圆形截面，=1
5、.70；对于常用的在腹板对称面内受弯的工字形截面，可以统一地取为1.15。,12.2.1极限弯矩,12.2 极限弯矩和塑性铰,12.2.2 塑性铰的概念,塑性铰,普通铰,在极限状态下，截面上各点的正应力均达到了屈服极限，因此不能继续增大。但是，在极限弯矩的作用下，截面各点的正应变却可以在符合平截面假定的条件下继续增大，从而使得截面两侧的杆件绕着这个截面发生有限的相对转动，类似于杆件在该处铰接的情况，这时称该截面处出现了一个塑性铰。,塑性铰与普通铰的区别： 塑性铰能传递弯矩，普通铰不能； 塑性铰是单向铰，截面两侧只能在极限弯矩方向上发生相对转动，普通铰可以自由发生相对转动。,塑性铰在卸载时会消失
6、，普通铰不会； 塑性铰随荷载分布而出现于不同截面，普通铰的位置则是固定的。,12.3 静定梁的极限荷载,My=Wy=bh2y/6，Mu=WSy=bh2y /4,塑性区从跨中向两端扩展，从上、下边缘向中性轴扩展，但上、下两个塑性区尚未连成一片，弹性区仍是连续的。,12.3 静定梁的极限荷载,计算静定梁极限荷载的步骤： 确定塑性铰的数量。静定梁出现1个塑性铰即形成破坏机构； 确定塑性铰的位置。静定梁的塑性铰总是出现在M/Mu取得最大值的截面； 利用平衡条件求该截面的弯矩并令其等于极限弯矩，就可以求得极限荷载。,例12-1 已知变截面简支梁的极限弯矩为Mu(x)=Mu(1+0.5x/l)，梁受全跨均
7、布荷载作用，求荷载集度的极限值qu。,x2+4lx-2l2=0,梁各截面的弯矩,破坏机构,=,12.3 静定梁的极限荷载,12.4 超静定梁的极限荷载,12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载,梁端部的弯矩绝对值最大，因此最先达到屈服值My。,矩形截面=1.5，则极限荷载为屈服荷载的2倍，可见超静定梁在弹性极限后的承载潜力很大。,逐渐加载法（增量法）,12.4 超静定梁的极限荷载,12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载,如果仅仅要求计算极限荷载，则无须追踪上述过程，而只要考虑极限状态下的平衡条件。,破坏机构,静力法。由问题的对称性极易判断破坏机构中三个塑性铰的位置，并画出极限状态下的弯矩图，利用平衡
8、条件便可求得极限荷载。,虚功法（机动法）。与静力法相同，首先判断塑性铰的位置，确定破坏机构图。然后假设虚位移状态：,虚功原理,12.4 超静定梁的极限荷载,12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载,梁中的塑性铰总是出现在M/Mu取得最大值的截面，可能出现塑性铰的位置有：固定支座或滑动支座；集中力的作用点；阶梯型梁的截面改变处等。,例12-2 试求图示变截面梁的极限荷载。,破坏机构1,破坏机构3,破坏机构2,真实,穷举法,12.4 超静定梁的极限荷载,12.4.2 连续梁的极限荷载,连续梁极限荷载，补充两条假定：,梁的各跨均为等截面杆（不同跨的杆件截面可以不同）； 梁所受的荷载方向都相同。 工程中的
9、连续梁大部分都满足这两条假定。,单跨独立破坏,相邻跨联合破坏,在各跨等截面、荷载方向相同条件下，破坏机构只能在各跨内独立形成。,可能的破坏机构,例12-3 试求图示连续梁极限荷载(q为荷载因子) ，各跨截面极限弯矩从左到右依次为1.5Mu、Mu、2Mu。,12.4 超静定梁的极限荷载,12.4.2 连续梁的极限荷载,作各跨独立破坏时的弯矩图，图中的三个矩形给出了各截面正负弯矩的界限。所作的弯矩图既不能越出这一界限，又必须在足够多的点上达到这一界限，以保证形成破坏机构。在支座截面，极限弯矩应取左右两个值中的较小者。,第三跨弯矩图中，如截面E弯矩达到极限值，截面F的弯矩必然超出极限值，这是不允许的
10、,12.4 超静定梁的极限荷载,12.4.2 连续梁的极限荷载,其次，利用平衡条件反求各跨的破坏荷载。,第一跨：,第二跨：,第三跨：,12.5 比例加载的一般定理及其应用,12.5.1 可接受荷载和可破坏荷载,单向机构条件：结构的整体或部分出现了数量足够的塑性铰，形成了破坏机构，能在荷载作用下发生单向运动，荷载通过其运动作正功。 平衡条件：结构整体或任一局部均满足静力平衡条件。 弯矩极限条件：结构任一截面的弯矩的绝对值均不大于该截面的极限弯矩（设截面受正负弯矩时的极限弯矩相等）。,极限状态必须满足的三个条件：,可破坏荷载,可接受荷载,12.5 比例加载的一般定理及其应用,12.5.2 一般定理
11、,定理1：极小定理(上限定理),极限荷载是所有可破坏荷载中的最小值,极限荷载是所有可接受荷载中的最大值,极限荷载值只有一个确定值。,定理2：极大定理(下限定理),定理3：惟一性定理,12.5.3 定理的应用,确定极限荷载的上下限。,求极限荷载的近似值。,求极限荷载的精确值。,穷举法：列出所有破坏机构，对这些机构求相应的可破坏荷载，根据极小定理，其中最小的就是极限荷载,试算法：选择最有可能的破坏机构，依据惟一性定理，如该荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载即为极限荷载,12.5 比例加载的一般定理及其应用,12.5.3 定理的应用,求极限荷载的精确值。,穷举法：列出所有破坏机构，对这些机构求相应的可
12、破坏荷载，根据极小定理，其中最小的就是极限荷载,试算法：选择最有可能的破坏机构，依据惟一性定理，如该荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载即为极限荷载,以例12-2为例。如果在对机构1求得FP1=7.5Mu/l后，作相应弯矩图，可发现它满足弯矩极限条件，这样就可肯定FPu=FP1，而不必再考虑其他破坏机构了。另一方面，容易判断相应于机构2和3的弯矩图都不满足弯矩极限条件。,12.5 比例加载的一般定理及其应用,12.5.3 定理的应用,例12-4 对图示超静定梁： （1）考虑图示破坏机构，求极限荷载的近似值。 （2）求极限荷载的精确值。,解 ：(1) 作图12.13b所示破坏机构的弯矩图,可破坏荷载
13、,由平衡条件还可求得弯矩最大值为,将荷载q+和弯矩图均按比例缩减,可接受荷载,极限荷载的近似值,误差只有0.8%,12.5 比例加载的一般定理及其应用,12.5.3 定理的应用,例12-4 对图示超静定梁： （1）考虑图示破坏机构，求极限荷载的近似值。 （2）求极限荷载的精确值。,设破坏机构如图，可画出相应的弯矩图。,求q+(x)的极小值,x2-4lx+2l2=0,极小定理,12.5 比例加载的一般定理及其应用,12.5.3 定理的应用,例12-5 试证明例12-3中求得的极限荷载满足弯矩极限条件。,令各支座截面处的负弯矩的绝对值等于相应截面的极限弯矩，用叠加法作荷载因子等于极限荷载时各跨的弯矩图。因为极限荷载是各跨独立破坏时相应的荷载中最小的一个，所以除第三跨外，其余两跨的正弯矩的极大值均小于极限弯矩。所求的极限荷载是满足弯矩极限条件的。,讨论 在极限状态下，超静定梁满足平衡条件和弯矩极限条件的弯矩分布可以有无限多种。下图给出了本例的满足平衡条件和弯矩极限条件的另一个弯矩图。,课堂习题：下图所示为一等截面刚架结构，截面极限弯矩为Mu，求结构的极限荷载。,12.5 比例加载的一般定理及其应用,列出所有可能的破坏机构，用“穷举法”求解。,用“试算法”验算各破坏机构的弯矩图,
