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1、1,求数列的 通项公式,2,学习目标,在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法 理解求通项公式的原理 体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系,3,例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。,已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。,一、观察法,4,1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, ,解：an=10n1,(2) 1, 11, 111, 1111, ,分析：注意观察各项与它的序号的关系 有 101，1021，1031，10
2、41,解：an= (10n1),这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！,分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系,练习：,5,注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.,二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）,6,练习：1.an的前项和Sn=2n21，求通项an,解：当n2时，an=SnSn1=(2n21) 2(n1)21 =4n2,当n=1时, a1=1,不满足上式,7,8,3.已知an中，a1+2a2+3a3+ +nan=3n+1,求通项an,解: a1+2a2+3a3+nan=3n+1
3、(n1), a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）,nan=3n+13n=23n,而n=1时,a1=9,（n2）,两式相减得：,9,例3.已知an中, an+1=an+ n (nN*),a1=1,求通项an,解:由an+1=an+ n (nN*) 得,an=( anan1)+(an1an2)+ + (a2 a1)+ a1 =(n 1)+(n 2)+ +2+1+1,三、累加法,(递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列),n个等式 相加得,an+1 an= n (nN*),（1）注意讨 论首项;,(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式,10,求法：累加法,练习：,11,
4、四、累乘法 (形如an+1 =f(n)an型),例4.已知an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1annan2=0, 求an的通项公式,解: (n+1)an+12 +an+1annan2=0,( an+1+ an)(n+1) an+1 nan=0, an+1+ an0, (n1), an= ., (n+1) an+1 = nan,12,练习1：,类型四、累乘法形如 的递推式,13,四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式,练习2,14,五、迭代法,例5.已知an中, an= 3n1+an1 , (n2),a1=1,求通项an.,解: an= 3n1+an1 (n
5、2), an= 3n1+an1 = 3n1 +3n2+ an2,=3n1 +3n2+ 3n3 + an3,= 3n1 +3n2+ 3n3 +3+ a1,=3n1 +3n2+ 3n3 +3+1,(递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列),15,六待定系数法（构造法）,例6：,解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列an+1是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1,16,反思：待定系数法如何确定x？,待定系数法：,令an+1+x=p(an+x),即,an+1=pan+px-x,根据已知x=,所以数列 是等比数列.,17,类型七、相除
6、法形如 的递推式,例8：,18,【变式迁移】,已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）. （1）求证数列为等差数列； （2）求数列an的通项公式.,解：（1）方法1：（构造法） 因为a15且an2an12n1， 所以当n2时，an12（an11）2n， 所以， 所以，,19,所以是以为首项，以1为公差的等差数列. 方法2：（代入法） 因为a15,n2时， 所以， 所以是以为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知,所以an（n1）2n1.,20,21,22,练习. 已知数列an中a1=2，an+1=4an+ 求数列an的通项公式。,反思,23,例9：,八取倒法,形如 的递推式,24,练习,25,形如 的递推式,例10：,八取倒法,26,27,28,29,30,31,求数列的通项公式,构造辅助数列,32,1：,作业,33,2：,
