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1、,题型5探索、延伸与应用问题,类型与三角形有关的探索、延伸与应用,例12018永州如图1，在ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G，H分别在BC，AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I.若CI4，HI3，AD .矩形DFGI恰好为正方形 (1)求正方形DFGI的边长； (2)如图2，延长AB至P，使得ACCP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？ (3)如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DFGI，正方形DFGI分别与线段DG，DB相交于点M，N，求MN
2、G的周长,规范解答：(1)如图1，HIAD. . .CD6.IDCDCI2. 正方形的边长为2.(4分),(2)如图2，设点G落在PC上时对应的点为G， 点F对应的点为F. CACP，CDPA， ACDPCD，AP. HGPA，CHGA，CGHP. CHGCGH，CHCG. IHIGDF3.(6分) IGDB， . ， DB3.DBDF3. 点B与点F重合 移动后的矩形与CBP重叠部分是BGG. 移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形(8分),满分技法解答探索、延伸与应用类题目时，解答好第(1)问是基础，往往前面第(1)问中的方法思路为第(2)问的解决提供解题方向；解答后续的“延伸”时，要
3、特别注意运用类比、数形结合、分类讨论等数学思想；对于应用环节，就是把实际问题的背景，抽象成已探索出结论或规律的几何模型,(3)如图3，将DMI绕点D顺时针旋转90得到DFR，此时N，F，R共线 MDNNDFMDINDF FDRNDR45， 又DNDN，DMDR， NDMNDR. MNNRNFRFNFMI. MNG的周长MNMGNGMGMINGNF2IG4.(12分),【满分必练】,12018扬州问题呈现 如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tanCPN的值 方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形观察发现问题中C
4、PN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MNEC，则DNMCPN，连接DM，那么CPN就变换到RtDMN中 问题解决 (1)直接写出图1中tanCPN的值为_； (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cosCPN的值； 思维拓展 (3)如图3，ABBC，AB4BC，点M在AB上，且AMBC，延长CB到N，使BN2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求CPN的度数,(3)如图，取格点O，连接AO，NO. PCON，CPNANO. AOON，AON90， ANOOAN45. CPN45.,解：(1)如图1
5、，ECMN，CPNDNM. tanCPNtanDNM. DMN90，tanCPNtanDNM 2. 故答案为：2.,(2)如图2，取格点D，连接CD，DM. CDAN，CPNDCM. DCM是等腰直角三角形，DCMD45. cosCPNcosDCM .,(2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边ADE，且点E在ACB的内部，连接BE，试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明； (3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论_,22018日照问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质
6、：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB90，ABC30，则：AC AB. 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究 (1)如图1，连接AB边上中线CE，由于CEAB，易得结论：ACE为等边三角形；BE与CE之间的数量关系为_；,拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为( ，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边ABC.当C点在第一象限内，且B(2，0)时，求C点的坐标,解：(1)BECE.,由(1)结论可知，CPA为等边三角形 CAP60，CAPA. ADE为等边三角形，DAE60，ADAE.
7、CAPDAE.CAPDABDAEDAB. CADPAE. 在ACD和APE中， ACDAPE.(SAS)APEACD90.EPAB. P为AB的中点，AEBE. DEAE，BEDE.,(2)BEED. 证明：如图2，连接EP，,(3)BEDE.,拓展应用：方法一：如图3，连接OA，OC. 过点A作AHx轴于点H.,方法二：【提示】如图3，AHBBDC(AAS). DBAH1，CDBH2 . OD211. C点的坐标是(1，2 ),点A的坐标为( ，1)， AOH30. 由探究结论(3)可知，COCB. O(0，0)，B(2，0)， 点C的横坐标为1.设C(1，m) CO2CB212m2，AB2
8、12(2 )2，ABCB， 12m212(2 )2，m2 . C点的坐标是(1，2 ),图3,3(1)问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPCAB90，求证：ADBCAPBP. (2)探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPCAB时，上述结论是否依然成立？说明理由 (3)应用 请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图3，在ABD中，AB6，ADBD5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足DPCA，设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值,解：(1)证明：DPCAB90， ADPAPD
9、90，BPCAPD90. ADPBPC.ADPBPC. ADBCAPBP.,(2)结论ADBCAPBP仍然成立 理由：BPDDPCBPC，BPDAADP， DPCBPCAADP. DPCAB， BPCADP. ADPBPC. ADBCAPBP.,ADBD5，AB6， AEBE3. 由勾股定理，得DE4. 以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， DCDE4. BC541. 又ADBD， AB. DPCAB. 由(1)(2)获得的经验可知ADBCAPBP， 51t(6t)，解得t11，t25. t的值为1秒或5秒,(3)如图3，过点D作DEAB于点E.,类型与四边形有关的探索、延伸与应用,例22
10、018山西综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：,反思交流： (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；,自主解答：(1)依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)； 依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”),点A在线段GF的垂直平分线上,(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；,
11、图2,自主解答：(2)证明：如图2，过点G作GHBC于点H，,四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上， CBEABCGHC90. 1290. 四边形CEFG是正方形， CGCE，GCE90. 1390. 23. GHCCBE. HCBE. 四边形ABCD是矩形，ADBC. AD2AB，BEAB， BC2BE2HC.HCBH. GH垂直平分BC. 点G在BC的垂直平分线上,图2,探索发现： (3)如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平
12、分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明,自主解答：(3)结论：点F在BC边的垂直平分线上,证明：如图3，过点F作FMBC于点M，过点E作ENFM于点N.,BMNENMENF90. 四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上， CBE ABC90. 四边形BENM为矩形 BMEN.BEN90. 1290. 四边形CEFG为正方形， EFEC，CEF90.,图3,2390. 13.CBEFNE90. ENFEBC. NEBE，BMBE. 四边形ABCD是矩形，ADBC. AD2AB，ABBE，BC2BM. BMMC.FM垂直平分BC. 点F在BC边的垂直平分线上,满分技法探索、延伸与应用型问题
13、常常用到以下方法与思想：特殊值：利用特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律；分类讨论法：当命题的题设和结论不唯一，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果；类比猜想法：即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证,【满分必练】,42018益阳如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，F30. (1)求证：BECE； (2)将EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合
14、时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N(如图2) 求证：BEM CEN； 若AB2，求BMN面积的最大值； 当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图3)，求sinEBG的值,图1,图2,图3,解：(1)证明：如图1，四边形ABCD是矩形， ABDC，AD90. 又AEDE， ABEDCE. BECE.,(2)证明：如图2， AEBABE90， AEBCED90， ABECED. CEDECB， ABEECB. BECMEN90， BEMCEN. 由(1)得BECE，BEMCEN.,图1,图2,由(1)得ABEDCE，BEACED. ABECED，BEAABE. ABAEDE2. 设
15、BMx，由得BEMCEN， BMCNx.BN4x， BMN面积 x(4x) (x2)22， 又0 x2， 当x2时，BMN面积最大，最大值为2.,52018泰州对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上(如图1)，再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合(如图2) (1)根据以上操作和发现，求 的值； (2)将该矩形纸片展开 如图3，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开求证：HPC90； 不借助工具，利用图4探索一种新的折叠方法，找出与图3中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法(不需说明理由)
16、,解：(1)由图1，可得BCE BCD45， 又B90，BCE是等腰直角三角形 cos 45 ，即CEBC. 由图2，可得CECD，而ADBC. CDAD. .,(2)证明：设ADBCa， 则ABCD a，BEa，AE( 1)a. 如图3，连接EH，则CEHCDH90. BEC45，A90. AEH45AHE. AHAE( 1)a. 设APx，则BP ax， 由翻折可得，PHPC，即PH2PC2， AH2AP2BP2BC2. 即( 1)a2x2( ax)2a2， 解得xa，即APBC.,折法一：如图41，沿着过点D的直线翻折，使点A落在CD边上的点Q处，此时折痕与AB的交点即为P； 折法二：如图42，沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE边上的点Q处，此时，折痕与AB的交点即为P.,又PHCP，AB90. RtAPHRtBCP(HL)， APHBCP. 又RtBCP中，BCPBPC90， APHBPC90. CPH90.,
