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1、Newton Interpolate,Numerical Methods,Newton Polynomials,Is said to be Newton polynomial with N centers ,and,Have the nodes 。,如何计算Newton Polynomials,Newton 插值数学问题,Newton插值问题:已知在一组互异节点 上的函数值 ,求一个尽可能低的Newton多项式 ,使得: 即:,插值问题的解是唯一的,区别仅是表达方式的不同!,Lagrange插值多项式的优缺点,当节点固定不变时,很容易计算多个不同点x出的Lagrange插值多项式的值。 计算高
2、阶(n)插值多项式,不能利用已计算出的低阶插值多项式。 Newton插值方法是对Lagrange插值方法的一个补充。特别适合于计算一个点上的各种阶数的插值多项式的值。,低阶Newton插值问题的解法,n=0时:,n=1时:,n=2时:,低级Newton插值问题的解法,Divided difference,Newton Interpolate Polynomial,Theorem 3.6 定义,则 满足,Newton Interpolate Polynomial,我们以N=3为例来说明Theorem 3.6的 证明思想。,误差估计,由于插值多项式的唯一性,按照Newton插值公式计算出来的多项式
3、与按照Lagrangre插值公式计算出来的多项式相同,误差也相同。,其中 。,均差与导数的关系,以N=3为例:,算法,Example 3.12,Example 3.13,Chebyshev Polynomial,目标:调整节点,使得误差估计达到最小!,目标:调整节点,使得 最小!,Chebyshev Polynomial,Properties of Chebyshev Polynomial,定义:,Property 2: 的首项系数为,Property 3(奇偶性),Property 3(三角表示),Properties of Chebyshev Polynomial,MinMax,Example:等距节点的插值,Example:Chebyshev节点的插值,作业,