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1、等差数列练习 一、选择题 1.（）在 100 至 500 之间的正整数能被11 整除的个数为.35 解析：观察出100 至 500 之间能被11 整除的数为110，121，132，它们构成一个等差数列， 公差为 11，an=110+(n1)11=11n+99,由 an500,得 n ,n N*,n36.答案： C 2.（）在数列 an中， a1=1,an+1=an21(n1),则 a1+a2+a3+a4+a5等于 A.1 B.1 解析：由已知：an+1=an21=(an+1)(an 1),a2=0,a3=1,a4=0,a5=1.答案： A 3.（）若数列 an的前 n 项和 Sn=n22n+3
2、，则此数列的前 3 项依次为A.1,1,3 ,1,3 C.6,1,3 ,3,6 解析：当n=1 时， a1=S1=1221+3=2;当 n=2 时，由 S2=a1+a2=222 2+3,得 a2=1; 当 n=3 时，由 S3=a1+a2+a3=3223+3,得 a3=3.答案： B 4.（）等差数列 an中， a4+a7+a10=57,a4+a5+a14=275,ak=61,则 k 等于.19 C 解析： 3a7=a4+a7+a10=57,a7=19.由 a4+a5+a14=275,可得 a9=25.公差 d=3. ak=a9+(k9) d,61=25+(k9)3,解得 k=21.答案： D
3、 5 （）设 n S是等差数列 n a的前n项和，若 7 35S，则 4 aA8B7C6D5 解析： n S是等差数列 n a的前n项和，若 74 735,Sa 4 a5，选 D. 6.（）已知 an是递增数列，且对任意nN*都有 an=n2+n 恒成立，则实数的取值范围是 A.( 2 7 ,+) B.(0,+) C.(2,+) D.(3,+) 解析：由 an为递增数列得 an+1 an=2n+1+ 0 恒成立 ,即 2n1 在 n1 时恒成立， 只需 (2n1)max=3,故选 D. 7.（）设数列 an、bn都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由 an+bn所组
4、成的数列的第37 项为 .37 C D.37 解析： an、bn为等差数列， an+bn也为等差数列 .设 cn=an+bn,则 c1=a1+b1=100,而 c2=a2+b2=100,故 d=c2 c1=0.c37=100.答案： C 8.（）数列 an中， a1=1,a2= 3 2 ,且 n2 时，有 11 11 nn aa = n a 2 ,则 =( 3 2 )n =( 3 2 )n 1 C.an= 2 2 n = 1 2 n 解 析 ： nnn aaa 211 11 ,n 2, 数 列 n a 1 是 等 差 数 列 . a1=1,a2= 3 2 , 首 项 1 1 a =1, 公 差
5、 d= 2 1 1 2 311 12 aa . 2 1 )1( 2 1 1 1n n an .an= 1 2 n .答案： D 9.（）已知数列 an的通项公式为an=(1) n 1(4n3),则它的前 100 项之和为 B.200 D.400 解析： S100=a1+a2+a100=15+913+17 +(4991)(41001) =(15)+(913)+(499 1)(4100 1) =450=200.答案： B 二、填空题 10.等差数列 an中， a1=5,它的前 11 项的平均值是5，若从中抽取1 项后余下的10 项的平均值仍为5， 则抽取的是第_项. 解析：由 511+ 2 101
6、1 d=55,得 d=2.由 an=5,an=a1+(n1)d 得 n=6.答案： 6 11.在等差数列 an中，公差为 2 1 ，且 a1+a3+a5+a99=60，则 a2+a4+a6+a100=_. 解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+a100=a1+a3+a5+a99+50d=60+25=85.答案： 85 12.在等差数列 an中，若 a1+3a8+a15=120,则 2a9a10=_. 解析： an是等差数列， a1+3a8+a15=5a8=120,即 a8=24.又 an是等差数列， a8+a10=2a9.2a9a10=a8=24.答案： 24 13.若 ABC三边 a,b
7、,c 成等差数列，并且a2,b2,c 2 也成等差数列，则a,b,c 的大小关系为. 解析：由题意得 222 2 ,2 cab cab 由得 c=2b a,代入整理得a22ab+b2=0. a=b.答案： a=b=c 14设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， 4 S14，S10 7 S30，则 S9. 解析：设等差数列 n a的首项为a1，公差为d，由题意得,14 2 )14(4 4 1 da 30 2 )17(7 7 2 )110(10 10 11 dada，联立解得a1=2,d=1，所以 S9541 2 ) 19(9 29 15.在 9 和 3 之间插入 n 个数，使这n+2 个数
8、组成和为21 的等差数列，则n= . 解析： 21= 2 )39)(2(n ,n=5.答案： 5 16.等差数列 an中， a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78,则此数列前20 项的和等于. 解析：由a1+a2+a3= 24,可得 3a2=24;由 a18+a19+a20=78,可得 3a19=78,即 a2=8,a19=26. S20= 2 )(20 201 aa =10(a2+a19)=10(8+26)=180.答案： 180 17. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 3 9S， 6 36S，则 789 aaa45 解析： 3 S、 63 SS、 96 SS成等差
9、数列，从而 7899663363 2232363 945aaaSSSSSSS 18.在数列 an中， a1=3，且对任意大于1 的正整数n，点（ n a， 1n a）在直线 xy3=0 上，则 an= 解析：将点代入直线方程得 n a 1n a=3，由定义知 n a是以3为首项， 以3为公差的等差数列，故 n a=3n，即 an=3n2.答案： 3n2 三、解答题 19.已知等差数列an中， a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求其通项 an. 解： a1+a7=2a4,且 a1+a4+a7=15,a4=5.又 a2a4a6=45,a2a6=9. 设其公差为d,又 a4=5,a2=a4
10、 2d,a6=a4+2d.代入 a2a6=9 可得 (52d)(5+2d)=9254d2=9d=2. 当 d=2 时， an=a4+(n4)d=5+(n4)2=2n3(nN*); 当 d=2 时， an=a4+(n4)d=5+(n4)(2)=132n(nN*). 20. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 3 12a， 12 0S， 13 0S。 （1）求公差d的取值范围； （2）指出 1 S、 2 S、 12 S中哪一个值最大，并说明理由。 解： （ 1） 1 121 131 1 12 11 120 02110 2 0131260 130 2 ad Sad Sad ad 而 31
11、212aad，得 1 122ad 1 1 21102470 24 3 60307 add d add 故公差 d的取值范围为 24 , 3 7 。 （2） 2 1 (1)(1)124 (122 )(5) 2222 n n nn nd Snadnddn d 2 124 (5) 22 d d ， 0dQ ，当 2 124 (5) 2 n d 最小时 n S最大。而 24 , 3 7 d ， 12413 65 22d ， 6n 时， n S最大。 6 S最大。 21.在等差数列 an中， a1= 60,a17=12. (1)求通项 an; (2)求此数列前30 项的绝对值的和. 解： (1)a17=
12、a1+16d,即 12=60+16d,d=3.an=60+3(n1)=3n63. (2)由an 0,则3n 63 0n 21. | a1|+| a2|+ +| a30|= (a1+a2+ +a21)+(a22+a23+ +a30)=(3+6+9+ +60)+(3+6+27)= 2 )603( 20+ 2 )273( 9=765. 22已知数列 n a的首项为 1 a=3，通项 n a与前 n 项和 n s之间满足2 n a= n s n s 1（n2） 。 (1)求证： n S 1 是等差数列，并求公差；(2)求数列 n a的通项公式。 解：(1)2（ 1nn SS） = 1nn SS 2 111 1nn SS n S 1 是等差数列，且公差为 2 1 (2) n Sn S n n 35 6 ) 2 1 )(1( 3 11 当 n=1 时， a1=3 当 n2 时， an=SnSn-1= )83)(53( 18 nn
