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1、相似矩阵及二次型,1.向量的内积,定义1 设有n维向量 令 x, y称为向量x与y的内积。 内积是向量的一种运算,用矩阵记号表示,当x与y都是列向量时,有 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,为实数): (1)x, y=y, x; (2) x, y= x, y; (3)x+y,z=x,z+y,z. .,1.向量的内积,有解析几何中,我们曾经引进向量的数量积 且在直角坐标系中,有 n维向量的内积时数量积的一种推广,但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广,并且反过来,利用内积来定义n维向量的长度和夹角: 定义2 令 称为n维向量x的长度(
2、或范数)。 向量的长度有下述性质: 1.非负性 当 时, ;当 x=0 时, =0; 2.齐次性 ; 3.三角不等式 。 当 =1时,称x为单位向量。,向量的内积满足 上式称为施瓦茨不等式,这里不予证明。由此得 于是有下面的定义: 当 时, 称为n维向量x与y的夹角。 当x, y =0时,称向量x与y正交。显然,若x=0,则x与任意向量都正交。,1.向量的内积,下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量。 定理1 若n维向量a1,a2,ar是一组两两正交的非零向量,则 a1,a2,ar线性无关。 证 设有 使 以 左乘上式两端,得 , 因 故 ,从而必有 。类似可证
3、, 。于是向量组a1,a2,ar线性无关。 证毕 我们常采用正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基。例如n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间Rn的一个正交基。,1.向量的内积,例1 已知3维向量空间R3中两个向量 正交,试求一个非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交。,解 记 , a3应满足齐次线性方程Ax=0,即 , 由 , 得 ,从而有基础解系 。取 即合所求。,定义3 设n维向量e1,e2,er是向量空间 的一个基,如果e1, e2, ,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,er是V的一个规范正交基。 例如 就是R4的一个规范正交基。 若e1,e2,er是V的一
4、个规范正交基,那么V中任一向量a应能由e1,e2,er线性表示,设表示式为 。 为求其中的系数 (i=1,r),可用 左乘上式,有 即,1.向量的内积,设a1,a2,ar是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,er,使e1,e2,er与a1,a2,ar等价。这样一个问题,称为把a1,a2,ar这个基规范正交化。 我们可以用以下办法把a1,a2,ar规范正交化: 取 容易验证b1,br,两两正交,且b1,br与a1,ar等价。 然后只要把它们单位化,即取 就得V的一个规范正交基。 上述从线性无关向量组a1,ar导出正交向量组b1,br的过程称为
5、施密特(Schimidt)正交化过程。它不仅满足b1,br与a1,。,ar等价,还满足:对任何k (1 ),向量组b1,,bk与a1,ak等价。,例2 设 试用施密特正交化过程把这组向量规 范正交化。 解 取 再把它们单位化,取,1.向量的内积,1.向量的内积,例4 验证矩阵P是正交矩阵 P 解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以P是正交矩阵。 定义5 若P为正交矩阵,则线性变换y=Px 称为正交变换。 设y=Px为正交变换,则有 按 表示向量的长度,相当于线段的长度。 说明经正交变换线段长度保持不变,这是正交变换的优良特性。,2.方阵的特征值与特征向量,工程技术中的一些问题,如振动
6、问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值和特征的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题,也都要用到特征值的理论。 定义6 设A是n阶矩阵,如果数 和n维非零列向量x使关系式 (1) 成立,那么,这样的数 称为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值 的特征向量。,2.方阵的特征值与特征向量,(1)式也可写成 (2) 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 (3) 即 上式是以 为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程。其左端是的n次多项式,记作f( ),称为方阵A的特征多项式。显然,A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内
7、恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,n阶矩阵A有n个特征值。,2.方阵的特征值与特征向量,设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 (1) (2) 请读者证明之。 设为方阵A的一个特征值,则由方程 可求得非零解x=pi,那么pi便是A的对应于特征值 的特征向量。(若 为实数,则pi可取实向量;若 为复数,则pi为复向量。),例5 求 的特征值和特征向量。 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为 , 。 当 时,对应的特征向量应满足 即 解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为 。,当 时,由 即 解得x1=-x2 ,所以对应的特征向量可取为
8、显然,若pi是方阵A的对应于特征值 的特征向量,则 也是对应于 的特征向量。,例6 求矩阵 的特征值和特征向量。 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为 , 。 当时 ,解方程 。 由 得基础解系 , 所以 是对应于 的全部特征向量。,当时 ,解方程 由 , 得基础解系 , 所以 是对应于 的全部特征向量。,例7 求矩阵 的特征值和特征向量。 解 当 时,解方程 。 由 得基础解系 , 所以对应于 的全部特征向量为 。,当 时,解方程 。 由 , 得基础解系 , , 所以对应于 的全部特征向量为 (k2,k3不同时为0)。,例8 设 是方阵A的特征值,证明 是A2的特征值。 证 因 是A的特征
9、值,故有 使 。于是 , 所以 是A2的特征值。 按此类推,不难证明:若 是A的特征值,则 是Ak的特征值; 是 的特征值。(其中 , ) 定理2 设 是方阵A的m个特征值,p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量。如果 各不相等,则p1,p2,pm线性无关。,3.相似矩阵,定义7 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P-1AP=B, 则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似。对A进行运算 P-1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。 定理3 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同。 证 因A与B相似,即有可逆矩阵P,使P-1
10、AP=B,故,3.相似矩阵,推论 若n阶矩阵A与对角矩阵 相似,则 即是A的n个特征值。 下面我们要讨论的主要问题是:对n阶矩阵A,寻求相似变换矩阵P,使 P-1AP= 为对角矩阵,这就称为把方阵A对角化。 定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 联系定理2,可得 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对角矩阵相似。,4.对称矩阵的相似矩阵,定理5 对称矩阵的特征值为实数。 定理6 设 是对称矩阵A的两个特征值,p1,p2是对应的特征向量。若 ,则p1与p2正交。 定理7 设A为n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r重根,则矩阵 的秩
11、 ,从而对应特征值 恰有r个线性无关的特征向量。 这定理不予证明。 定理8 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使P-1AP= 其中 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。,例9 设 , 求一个正交矩阵P,使P-1AP= 为对角矩阵。 解 故得特征值 =2, 。 当 =2时, 由 解得 单位特征向量可取,当时 , 由 解得 , 基础解系中两个向量恰好正交,单位化即得两个单位正交的 特征向量, 于是得正交矩阵 可以验知确有,此例中对应于 =4,若求得方程(A- 4E)x = 0的基础解系为 , , 则需把它规范正交化: 取 。要 即 ; 有 ,故 再单位化,即得 于是 可以验知仍有P-1AP= 。,5.二次型及其标准形,定义8 含有n个变量 的二次齐次函数 (5) 称为二次型 取 ,则 ,于是(5)式可写成 (6),5.二次型及其标准形,对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换 (7) 使二次型只含平方项,也就是用(7)代入(5),能使 这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式)。 当aij为复数时,f称为复二次型;当aij为实数时,f称为实二次型。这里我们仅讨论实二次型,所求的线性变换(7)也限于实系数范围。,5.二次型及其标准形,由(6)式,利用矩阵,二次型可表示为,