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1、正数和负数正数和负数 正数和负数的概念 负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数 注意注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表 示 0 时，-a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的， 例如+a,-a 就不能做出简单判断） 正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-8 3.
2、0 表示的意义 0 表示“ 没有” ，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； 0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如： （3） 0 表示一个确切的量。如 ： 0以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则 0 米就表示海平 面。 有理数有理数 1.有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） 正分数和负分数统称为分数 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解理解 ： 只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能
3、化成分数，也是有理数 只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数 注意注意 ： 引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。 2.有理数的分类 按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0 不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、0 统称为非正整数 正有理数、0 统称为非负有理数 负
4、有理数、0 统称为非正有理数 数轴数轴 数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不 可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示， 正有理数可用原点右边的点表示， 负有理数可用原点左边 的点表示，0 用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与 数轴上的点不是一一对应关系。 （如
5、，数轴上的点不是有理数如，数轴上的点不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； 两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是 0，无最大的自然数； 最小的正整数是 1，无最大的正整数； 最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0； a0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a0 时，-a0（正数的相反数是负数） 当 a0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时，-a=0， （0 的相反
6、数是 0） 绝对值绝对值 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a数 a 的点与原点原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 可用字母表示为： 如果 a0，那么|a|=a； 如果 a0，那么|a|=a； 如果 a0，那么|a|=-a； 如果 a=0，那么|a|=0。 可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ）可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ） a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相
7、反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ） 经典考题经典考题 如数轴所示，化简下列各数 |a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b+c| 解：由题知道，因为 a0 ，b0，c0, a-c0, b+c0， 所以|a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数， 也就是说绝对值具有非负性。 所以， a 取任何有理数， 都有|a|0。a 取任何有理数， 都有|
8、a|0。 即0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 |a|=0； 一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.绝对值最小的数是 0.即：|a|0； 任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a； 绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0） ，则 x=a； 互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|； 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b； 若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负
9、数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0）（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0） 经典考题经典考题 已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求 a+b+c 的值 解：因为|a+3|0，|2b-2|0，|c-1|0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0 所以|a+3|=0 ，|2b-2|=0 ，|c-1|=0 即 a=-3 ,b=1 ,c=1 所以 a+b+c=-3+1+1=-1 4.有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异
10、号两数比较大小，正数 大于负数。 5.绝对值的化简 当 a0 时， |a|=a ； 当 a0 时， |a|=-a 当 a0 时， |a|=a ； 当 a0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有 两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。 一般地，绝对值为同一个正数的有理数有 两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。如：|a|=5，则 a=土 5 有理数的加减法有理数的加减法 1.有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，
11、并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两数相加，和为零； 一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： 互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ； 符号相同的两个数先相加“同号结合法” ； 分母相同的数先相加“同分母结合法” ； 几个数相加得到整数，先相加“凑整法” ； 整数与整数、小数与小数相加“同形结合法” 。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；
12、加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即： 当 b0 时，a+ba 当 b0 时，a+ba 当 b=0 时，a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计 算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和” 按运算意义读作“负 8
13、减 7 减 6 加 5” 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： .把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） .把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(
14、+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） .把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） -+-+- 5 3 2 1 4 3 5 2 2 1 8 7 原式=(-)+(-+)+(+-) 5 3 5 2 2 1 2 1 4 3 8 7 =-1+0- 8 1 =-1 8 1 .既有小数又有分数的运算要统一后再结
15、合（先统一后结合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 4 3 8 1 3 2 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 8 1 4 3 8 1 3 2 4 1 =+3-3+10-1 8 1 4 3 8 1 3 2 4 1 =(3-1)+(-3)+10 4 3 4 1 8 1 8 1 3 2 =2-3+10 2 1 3 2 =-3+13 6 1 =10 6 1 .把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -3+10-12+4 5 1 11 6 22 1 15 7 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) 5 1 15 7 11 6 22 1 =-1+ 15 4 22 11 =-1+ 30 8 30 15 - 30 7 .分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69) =0 .先拆项后结合 （1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+
