《全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案[参考]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案[参考]（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016 年福建省高中数学竞赛 暨 2016 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间： 2016年 5 月 22 日上午 9：0011：30，满分 160 分） 一、填空题（共10小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上） 1若函数( )3cos()sin() 63 f xxx（0）的最小正周期为，则( )f x在区间 0 2 ，上的最大值为。 【答案】2 3 【解答】 ( )3cos()sin()3cos()sin() 63662 f xxxxx 3cos()cos()4cos() 666 xxx，且( )f x的最小正周期为。 2，( )4c
2、os(2) 6 f xx。又0 2 x ，时， 7 2 666 x， 2 66 x，即0 x时，( )f x在区间0 2 ，上取最大值2 3。 2已知集合 2 320Ax xx， 1 3 Bxa x ，若 AB ，则实数a的取值范 围为。 【答案】 1 () 2 ， 【解答】12Axx。由 1 3 a x ，得 31 0 3 axa x 。 0a时，3Bx x。满足 AB 。 0a时，由 31 0 3 axa x ，得 1 (3) 0 3 x a x ， 1 33Bxxx a 或。满足 AB 。 0a时，由 31 0 3 axa x ，得 1 (3) 0 3 x a x ， 1 33Bxx a
3、 。由满足 AB ， 得 1 31 a ， 1 0 2 a。 综合得， 1 2 a。a的取值范围为 1 () 2 ，。 3函数 22 ( )ln2f xxxx零点的个数为。 【答案】1 【解答】( )2 ln2(2ln3)fxxxxxxx。 3 2 0 xe时，( )0fx； 3 2 xe时，( )0fx。 ( )f x在区间 3 2 (0)e ，上为减函数，在区间 3 2 ()e，上为增函数。 又 3 2 0 xe时， 31 ln110 22 x， 2 ( )(ln1)20f xxx； 3 3 2 3 ()(1)20 2 f ee， 2 ( )220f ee。 函数( )f x的零点个数为
4、1。 或：作图考察函数lnyx与 2 2 1y x 图像交点的个数。 4如图，在正方体 1111 ABCDA B C D中，二面角 1 BACD的大小为。 【答案】120 【解答】设正方体棱长为1。作 1 BEAC于 E ，连结 DE 。 由正方体的性质知， 11 A DCA BC。 1 DEA C，BED 为二面角 1 BACD的平面角， 且 2 3 BEDE，2BD。 22 2 1 33 cos 222 2 33 BED。 二面角 1 BACD的大小为 120 。 或：设 AC 、BD交于点 O，由60BEO，得120BED。 C1 B1 D1 C A B D A1 E C1 B1 D1
5、C A B D A1 （第 4 题） 5 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 ， 已 知2AB，3BC，4CD，5DA， 则 AC BD。 【答案】7 【解答】以AB，BC，CD为基底向量。则ADABBCCD。 2 2 ()ADABBCCD， 即 2222 222ADABBCCDAB BCAB CDBC CD 。 2549162()AB BCAB CDBC CD ， 2AB BCAB CDBC CD 。 () ()AC BDABBCBCCD 297AB BCAB CDBC CDBC BC。 6已知直线 l 过椭圆 C ： 2 2 1 2 x y的左焦点 F 且交椭圆 C 于 A、 B 两点。
6、 O为坐标原 点，若 OAOB，则点 O到直线 AB 的距离为 。 【答案】 6 3 【解答】( 1 0)F，。显然x轴不符合要求。设直线AB 方程为1xty。 由 2 2 1 1 2 xty x y ，得 22 (2)210tyty 的判别式大于0。设 11 ()A xy， 22 ()B xy，则 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t 。 由 OAOB，得 2 2 121212121212 22 (1)2 (1)(1)(1)()110 22 tt x xy ytytyy yty yt yyt tt 。 222 (1)220ttt， 2 1 2 t。 点 O到直线
7、AB 的距离为 2 116 31 1 1 2 t 。 B D C A 7已知 zC，若关于x的方程 2 3 20 4 xzxi（ i 为虚数单位） 有实数根， 则复数z的 模 z 的最小值为。 【答案】1 【解答】 设 zabi （a，bR） ， 0 xx是方程 23 20 4 xzxi的一个实数根。 则 2 00 3 2()0 4 xabi xi。 2 00 0 3 20 4 210 xax bx 。 由得， 0 1 2 x b ，代入，得 2 113 20 424 a bb ， 2 3410bab， 2 31 4 b a b 。 2 2 22222 2 31251353 ()1 41616
8、888 b zabbb bb ，当且仅当 5 5 b时等号 成立。 z 的最小值为 1。 （ 2 5 5 a， 5 5 b或 2 5 5 a， 5 5 b，即 2 55 () 55 zi） 。 8将 16 本相同的书全部分给4 个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量 互不相同，则不同的分配方法种数为。 （用数字作答） 【答案】216 【解答】将 16分解成 4 个互不相同的正整数的和有9 种不同的方式： 1612310，161249，161258，161267 ，16134 8， 161357 ，161456，162347，162356 。 符合条件的不同分配方法有 4 4 9216
9、A种。 9( )f x是定义在 R的函数，若(0)1008f， 且对任意 xR， 满足(4)( )2(1)f xf xx， (12)( )6(5)f xf xx，则 (2016) 2016 f 。 【答案】504 【解答】对任意 xR，(4)( )2(1)f xf xx， (12)( )(12)(8)(8)(4)(4)( )f xf xf xf xf xf xf xf x 2 (8)12 (4)12(1)6306(5)xxxxx 又(12)( )6(5)f xf xx， (12)( )6(5)f xfxx。 (2016)(2016)(2004)(2004)(1992)(12)(0)(0)fff
10、fffff (20095)168 620096 19976510086100810081008 2 。 (2016)1008 504 20162 f 。 10当x， y ，z为正数时， 222 4xzyz xyz 的最大值为。 【答案】 17 2 【解答】 22 1616 2 1717 xzxz，当且仅当 4 17 xz时等号成立， 2211 2 1717 yzyz，当且仅当 1 17 yz时等号成立。 2222222 1611612 ()()22(4) 17161717 17 xyzxzyzxzyzxzyz 。 222 417 2 xzyz xyz ，当且仅当 4 17 xz， 1 17 y
11、z，即4 117xyz： ：时等号成 立。 222 4xzyz xyz 的最大值为 17 2 。 注 ： 本 题利 用待 定系 数法 。 将 2 z 拆 成两 项 2 z和 2 (1)z。 由 22 2xzxz， 22 (1)2 1yzyz，以及 24 1 2 1 ，得 16 17 。由此得到本题的解法。 二、解答题（共5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程） 11已知数列 n a的前n项和22 nn Sa（ * nN） 。 （1）求 n a的通项公式 n a； （2）设 11 (1) n n b an n ， n T是数列 n b的前n项和，求正整数 k ，使得对任意
12、 * nN均 有 kn TT； （3）设 1 1 (1)(1) n n nn a c aa ， n R是数列 n c的前n项和，若对任意 * nN均有 n R成 立，求的最小值。 【解答】 （1）由22 nn Sa，得1122nnSa。两式相减，得1122nnnaaa。 1 2 nn aa，数列 n a为等比数列，公比2q。 由又 11 22Sa，得 11 22aa， 1 2a。 2 n n a。 5 分 （2） 111(1) 1 2(1)(1)2 nnn n n b n nn n 。 由计算可知， 1 0b， 2 0b， 3 0b， 4 0b。 当5n时，由 11 (1)(1)(2)(1)(
13、2) 0 222 nnn n nnnnn ，得当5n时，数列 (1) 2 n n n 为 递减数列。于是，5n时， 5 (1)5 (51) 1 22 n n n 。 5n时， 1(1) 10 (1)2 nn n n b n n 。 因此， 1234 TTTT， 456 TTT。 对任意 * nN均有 4n TT。故4k。 10 分 （3） 1 1 11 1 211 2() (1)(1)(1 2 )(12)2121 n n nnnnn nn a c aa 15 分 111 1111111122 2()()()2() 35592121321321 nnnnn R。 对任意 * nN均有 n R成立
14、， 2 3 。的最小值为 2 3 。 20 分 12已知 2 ( )ln()f xaxbx（0a） 。 （1）若曲线( )yf x在点(1(1)f，处的切线方程为 yx，求a，b 的值； （2）若 2 ( )f xxx恒成立，求 ab的最大值。 【解答】 （1）( )2 a fxx axb 。 依题意，有 (1)21 (1)ln()11 a f ab fab 。解得，1a，2b。 1a ， 2b 。 5分 （2）设 2 ( )( )()g xf xxx，则( )ln()g xaxbx，( )0g x。 0a时，( )g x定义域() b a ， 取 0 x使得 0 ln()1 b axb a
15、，得 1 0 b a ebb x aa 。 则 0000 ()ln()ln()()(1)10 bbb g xaxbxaxb aaa 与( )0g x矛盾。 0a时，( )0g x不恒成立，即0a不符合要求。 10分 0a时， () ( )1 ab a x a a g x axbaxb （0axb） 。 当 bab x aa 时，( )0g x；当 ab x a 时，( )0g x。 ( )g x在区间() bab aa ，上为增函数，在区间() ab a ，上为减函数。 ( )g x在其定义域() b a ，上有最大值，最大值为() ab g a 。 由( )0g x，得()ln0 abab
16、ga aa 。 lnbaaa 。 15分 22 lnabaaa。 设 22 ( )lnh aaaa，则( )2(2ln)(12ln)h aaaaaaa。 0ae时，( )0h a；ae时，( )0h a。 ( )h a在区间(0)e，上为增函数，在区间()e，上为减函数。 ( )h a的最大值为() 22 ee hee。 当ae， 2 e b时， ab取最大值为 2 e 。 综合，得， ab的最大值为 2 e 。 20分 13如图，O为ABC的外接圆，DA是O的切线，且DBAABC ，E是直线DB 与O的另一交点。点F在O上，且 BFEC，G 是CF 的延长线与切线DA的交点。求证： AGAD 。 【解答】 在ABC和ABD中，由DA是O的切线知， BADBCA。又DBAABC 。 ADBCAB 。 5 分 A、 B、 E、 C四点共圆， 180CABCEB。 180ADEDEC。 ECDA。 10分 又 BFEC， ECBFDG。 由 EC ， BF 是O的两条平行弦知 CFEB。 GCDE ，
