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1、学 海 无 涯第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识 自主学习1向量的有关概念名称定义备注向量既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )平面向量是自由向量零向量长度为 的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于 的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向 或 的非零向量0与任一向量 或共线共线向量 的非零向量又叫做共线向量相等向量长度 且方向 的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向
2、量b的和的运算叫做a与b的差 法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|.(2)当0时，a的方向与a的方向 ；当b；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a与b方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2如图，以向量a，b为边作OADB，用a、b表示、.变式训练2 ABC
3、中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设a，b，用a、b表示向量、.题型三平面向量的共线问题例3设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若3e1ke2，且B、D、F三点共线，求k的值变式训练3 设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线五思想与方法5用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.六思想方法 感悟提高方法与技巧1将向量用其它向量(特别是基向量
4、)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如且AB与CD不共线，则ABCD；若，则A、B、C三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误七课后练习1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0 (为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1B2 C3D42若A、B、
5、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：；=；+.其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个3. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足=0，则等于()A. B.2C. D.4.如图所示，在ABC中，3，若a，b，则等于()A.ab BabC.ab Dab5. 在四边形ABCD中，a2b,4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对6. 8，5，则的取值范围是_7给出下列命题：向量的长度与向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向
6、量；向量与向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上其中不正确的个数为_8.如图，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.若m，n，则mn的值为_9设a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b2a)共线，则_.10.在正六边形ABCDEF中，a，b，求，.11.如图所示，ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值12.已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点.（1）求；(2)若PQ过ABO的重心G,且a, b，ma，nb，求证：3.第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示一基础知识 自主学习
7、1两个向量的夹角定义范围已知两个 向量a，b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角的范围是 ,当 时,两向量共线，当 时，两向量垂直，记作ab.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2，使a .其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 (2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可
8、知，有且只有一对实数x，y，使axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是 的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立(O是坐标原点)3平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab ，a ，|a| .(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，| .4平面向量共线的坐标表示：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中
9、b0.ab .二难点正本疑点清源1基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变即(x，y),但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化三基础自测1已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.2已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab与b平行，则k_.3设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d_.4已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为 ( )A. B.C(3,2) D(1,3)5已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于y轴 B平行于第一、三象限的角平分线C平行于x轴 D平行于第二、四象限的角平分线四题型分类 深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例1如图
