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1、“华杯赛”专题讲座 约数与倍数(二)配套练习题一、解答题1、555555的最小的三位约数是几?888888的最小的三位约数是几?2、求两个正数8251和6105的最大公因数3、两个相同的四位数连续排列组成一个8位数,如:32143214、67586758在这样的数字中,能被28907整除的最大数是多少?4、有些自然数既能够表示成连续9个整数之和,又能够表示成连续10个整数之和,还能够表示成连续11个整数之和,则所有这样的数中最小的一个是多少?5、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一个组成3个三位数,那么他们的乘积的质因数分解中最多有多少个3?6、求出满足要求的三个数a、b、c使得a、b、c
2、分别有2、3、4个约数,a、b、c的最小公倍数刚好有12个约数且这个最小公倍数最小。7、a、b、c、d分别有2、3、4、5个约数,且它们中任何两个都没有倍数关系,那么a,b,c,d至少有多少个约数?8、已知n是自然数,那么n22005与n25的最大公约数最大为多少?9、a、b、c的最小公倍数是6300,a与b的最大公约数是18,a与c的最大公约数是3,a与c的最小公倍数是900,b不超过500那么a、b、c可能各是多少?10、已知a与b的最大公因数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a、b、c共有多少组?(例如:a12、b300、c300,
3、与a300、b12、c300是不同的两个自然数组)答案部分 一、解答题1、【正确答案】:105,104【答案解析】:55555535711133735710588888823371113371323104 【答疑编号10256103】 2、【正确答案】:37【答案解析】:8251610512146显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数,同样6105与2146的公因数也必是8251的因数,所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数6105214621813214618131333181333351483331482371483740则37为8251与61
4、05的最大公因数 【答疑编号10256104】 3、【正确答案】:99179917【答案解析】:这个数一定是10001的倍数,我们可以先求出10001和28907的最大公因数是137,289071372111000021147.39,所以211479917因此,在这样的八位数中,能够被28907整除的最大数是99179917 【答疑编号10256105】 4、【正确答案】:495【答案解析】:9个连续自然数之和恰为中间数的9倍,因而是9的倍数;同理,11个连续自然数之和是11的倍数10个连续自然数之和是中间两数和的1025倍,所以是5的倍数由于9,11,5两两互质,故所求数必为9511495的
5、倍数495515259454654404150故495即是所求 【答疑编号10256106】 5、【正确答案】:14【答案解析】:36729三位数中729有6个3,最多的,不可能有比这个多的。352432432486,所以其次另一个数有5个3。还有1、3、5三个数字。对于6个数我们可以逐一验证,当是135和351是都能分解出3个3。最多有:65314(个)。 【答疑编号10256107】 6、【正确答案】:3、4、15(答案不唯一)【答案解析】:要求这个数最小,约数一定,通常质数越多这个数就越小,且有12个约数的数中最小的就是60,3、4、15的最小公倍数刚好为60 【答疑编号10256108
6、】 7、【正确答案】:30个【答案解析】:4个约数的数可以有2个质约数,有3、5个约数一定是平方数和4次方数,这个平方数含有的质数和这个4次方数含有的质数不能一样,但是这两个质数可以分别是4个约数这个数含有的两个质约数。所以最少可以是23530(个)。可以是5、9、6、16这4个数 【答疑编号10256110】 8、【正确答案】:2630【答案解析】:辗转相除法,(n22005,n25)(n22005n(n25),n25)(200525n,n25)(200525n(n25)25,n25)(2630,n25)所以最大为2630 【答疑编号10256111】 9、【正确答案】:900、126、3或
7、者36、126、75。【答案解析】:因为a与b的最大公约数是18,所以a,b都是18的倍数。又因为a与c的最大公约数是3,a与c的最小公倍数是900,所以a900,c3,或者a36,c75。又因为a、b、c的最小公倍数是6300,所以b最小是:187126。b一定是126或者是126的5倍、25倍,但是除了126其它的都大于500,不成立,所以b126。因此a、b、c可能各是:900、126、3或者36、126、75。 【答疑编号10256112】 10、【正确答案】:30【答案解析】:先将12、300分别进行质因数分解:12223300223 52(1)确定a的值依题意a只能取12或125(60)或1225(300)(2)确定b的值当a12时,b可取12,或125,或1225;当a60,300时,b都只能取12所以,满足条件的a、b共有5组:第一组:a12,b12;第二组:a12,b60;第三组:a12,b300;第四组:a60,b12;第五组:a300,b12;(3)确定a,b,c的组数对于上面a、b的每种取值,依题意,c均有6个不同的值:52,522,5222,523,5223,52223,即25,50,100,75,150,300所以满足条件的自然数a、b、c共有5630(组) 【答疑编号10256113】 第4页