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1、2020/9/2,1,利息理论,主讲人：张霞,2020/9/2,2,精算职业简介,精算师的职业生涯被喻为“金领中的金领”。因为在发达国家，精算师既是商业保险界的核心精英，又可在金融投资、咨询等众多领域担任要职。 精算职业在美国长期被评为第一或第二好的职业。 我国保险法第八十五条规定：保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算专业人员，建立精算报告制度。,2020/9/2,3,中国精算师考试体系简介,中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。 2011年起准精算师阶段共有八门课程，均为必考。 A1数学、 A2金融数学、 A3精算模型、 A4 经
2、济学、 A5 寿险精算、 A6 非寿险精算、 A7 会计与财务、 A8 精算管理。,2020/9/2,4,利息理论课程介绍,金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。例如：银行的资产负债分析、融资成本和投资收益分析、金融市场产品的定价和保险精算分析等。 本课程的基本目的是使学生掌握基本的金融计算的概念、术语和原则，同时对一些基础性的金融工具进行现金流价值分析。,2020/9/2,5,参考书目,S.G Kellison 著，尚汉冀译，利息理论，上海科学技术出版社，1995 刘占国，中国精算师资格考试用书利息理论，南开
3、大学出版社，2000 李晓林编著，复利数学，中国财政经济出版社，1999,2020/9/2,6,第一章 利息的基本概念,1.1 利息度量 1.2 利息问题求解,2020/9/2,7,1.1 利息度量,利息的基本概念 利息的定义,2020/9/2,8,“利息”一词可以定义为向人借资本以供自用者给予出借资本者的报酬。这样，利息可被视为借款者付给出借者的租金，用以赔偿出借者由于不再能使用这笔出借的资本而蒙受的损失。 从理论上说，资本和利息不一定要是同类的东西。例如，农夫A可以出借一台拖拉机给农夫B，用以收割B的小麦，而B则用收割到的小麦的一定的百分比给A作为回报。 然而，在几乎所有的实际应用中，资本
4、和利息都是用货币来表示的。,2020/9/2,9,利息是借款方支付给贷款方的报酬； 利息是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权得到的报酬； 利息是货币资本投资的收益。,利息的定义,2020/9/2,10,1.1 利息度量,利息的基本概念 利息的定义 几个常用的专业术语,2020/9/2,11,几个常用的专业术语,本金 初始投资的资本金额 租用期或投资期 利用本金的时间长度 计息期 在投资过程中，相邻两次计算利息的时间间隔 每一计息期一般是等长度的，如有：日、周、月、季、半年、一年或几年不等,2020/9/2,12,1.1 利息度量,利息的基本概念 利息的定义 几个常用的专业术语 利率的
5、定义,2020/9/2,13,利率的定义,单位时间单位本金所获得的利息,年利率的计算公式,利率的一般计算公式,2020/9/2,14,1.1 利息度量,利息的基本概念 积累值与积累函数 积累值,2020/9/2,15,积累值,本利和、积累值、累积值、积存值、终值 一笔投资资金到投资期末的本金和利息之和 基本关系式：终值本金利息 影响积累值的主要因素 借款额（本金）； 利率； 借款时间（投资期的长度）； 计息次数； 计息方式。,2020/9/2,16,1.1 利息度量,利息的基本概念 积累值与积累函数 积累值 积累函数,2020/9/2,17,积累函数,积累函数 随投资时间的长度 t 的变化而变
6、化的积累值，记为A(t) 单位积累函数 单位本金的积累函数，记为a(t) 单位积累函数的性质 1) a(0) = 1 2) 一般的a(t)关于时间严格单调递增 3) a(t)在多数情况下是连续函数,2020/9/2,18,2020/9/2,19,2020/9/2,20,1.1 利息度量,利息的基本概念 积累值与积累函数 积累值 积累函数 积累函数与单位积累函数的关系,2020/9/2,21,积累函数与单位积累函数的关系,，其中P为本金,表示投资在第n期赚取的利息量,表示投资本金在第n期里的当期利率（实际利率）,2020/9/2,22,1.1 利息度量,利息的基本概念 积累值与积累函数 计息方法
7、,2020/9/2,23,计息方法,单利,复利,标准复利,一般复利,连续复利,2020/9/2,24,单利,考虑投资1单位，使在每一时期中得到的利息为常数。 1单位的积累值在第一时期末为1+i，在第二时期末为1+2i，如此等等。 对一般情形，得到线性积累函数a(t)1+it（对整数t0） 象这种类型产生的利息称为单利。,2020/9/2,25,相应单利的累积函数为时间的线性函数 注 常数的单利率并不意味着常数的实际利率！ 因为相应于单利的第n 个时期的实际利率in为,为什么在每一个时期中所获的利息金额相等可实际利率却越来越小呢？,是一个关于n 的单调递减的函数，,问题,2020/9/2,26,
8、注 当计算实际利率in时是把第n 期开始时的资本总额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额之比。随着资本总额的不断增加常数的利息必将导致单调递减的实际利率。 注 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行观察，但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区间上按比例产生的，从而上面给出的关于整数t 的单利的生成方式可以认为是对于所有的t0 都成立的利息产生方式。 单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时期的长短有关系而与该时期的具体位置无关,2020/9/2,27,单利是由满足如下条件的连续函数a(t) 所相应的累积函数所给出的：,注 上式意味着经过时间t + s所产生的利息等于经
9、过时间t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和。,或等价的,从上述性质可以推出函数a (t ) 满足单利是由满足如下条件的连续函数a(t) 所相应的累积函数所给出：,及,2020/9/2,28,例1-1 若单利年息为8，求投资2000元在4年后的积累值。,注 每年所获得的利息金额都是160元,解,按照单利的计算公式有,A(4)= 2000a(4)=,2000(1+ 8%4),= 2640（元）,其中所获得的利息金额为,I = 20008%4,= 640（元）,注 利息金额 = 本金金额利率时期,2020/9/2,29,计息方法,单利,复利,标准复利,一般复利,连续复利,2020/9/2,3
10、0,复利,单利具有这样的性质：利息并不再投资以赚取附加的利息。例如，考虑$100的本金以10的单利投资2年。对于单利而言，投资者在两年中每一年末将收入$10，但实际上，投资者在第2年中是有$110可用以投资的。显然，如果用10的利率投资$110将会更好，因为投资者将在第2年收入$11而不是$10。 复利理论用假设得到的利息自动再投资来处理这个问题。 “复”这个词在这里是指利息再投资以得到额外利息的过程。对复利而言，在任何时侯本金和到该时为止得到的利息，总是都用去投资。,2020/9/2,31,计息方法,单利,复利,标准复利,一般复利,连续复利,2020/9/2,32,时间单位为一年，每年利息转
11、换一次的复利,一年终所得利息I1=Pi,一年终本利和A(1) = P+ Pi= P (1+i),二年终所得利息 I2= P (1+i)i,二年终本利和 A(2) = P (1+i) + P (1+i)i= P (1+i)2,t 年终本利和 A(t) = P (1+i)t,本金为P，年利率为i,注 t 可以不是整数。,注 隐含假设：所赚利息能以相同利率再投资。,标准复利,2020/9/2,33,计息方法,单利,复利,标准复利,一般复利,连续复利,2020/9/2,34,一般复利,在标准复利中，计息期为一年，即每隔一年计息一次，并将利息转为本金计算复利。 但在金融实务中，也存在着一年计息多次或多年
12、计息一次的计息方式，即存在着一年利息转换多次或多年利息转换一次的复利。 一般复利 计息期不为一年的计息方式,2020/9/2,35,一年分12期结算，每期利率为,1期终利息,1期终本利和,2期终本利和,12期终本利和,t 年终本利和,本金为P，年利率为i,一年均分为m期（m为正整数），由以上推算法得：,t 年终本利和,2020/9/2,36,计息方法,单利,复利,标准复利,一般复利,连续复利,2020/9/2,37,连续复利,在一般复利计息方式中，当复利期的时间间隔趋近于零，即利息转换在每时每刻不断进行着，这种方式增长的利息称为连续复利。,2020/9/2,38,1.1 利息度量,利息的基本概
13、念 积累值与积累函数 计息方法 单利 复利 标准复利 一般复利 连续复利 各种计息方法的比较,2020/9/2,39,各种计息方法的比较,（一）对终值进行比较,2020/9/2,40,（一）对终值进行比较,2020/9/2,41,例1-2：某人2003年1月1日从银行借款1000元，假设年利率为12%，试分别以单利和复利计算： （1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？ （2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？ （3）几年后需还款1500元？,解：,（1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数为139天，,单利：,（元）,复利：,（元）,2020/9/2,42,单
14、利：,（2）从2003年1月1日到2005年1月1日为两年，,单利：,复利：,复利：,（3）,（元）,（元）,（年）,（年）,2020/9/2,43,各种计息方法的比较,（一）对终值进行比较 （二）对积累函数的性质进行比较,2020/9/2,44,（二）对积累函数的性质进行比较,复利的可分离变量性 复利是由满足如下条件的非零连续函数a (t ) 所相应的累积函数所给出的,注 复利终值不受人为的利息转换行为的影响。,注 单利不具备该性质,2020/9/2,45,各种计息方法的比较,（一）对终值进行比较 （二）对积累函数的性质进行比较 （三）对所产生的利息量进行比较,2020/9/2,46,（三）
15、对所产生的利息量进行比较,本金为P，年利率为i ，则第n年里产生的利息量为：,单利：,注 与n无关，说明单利投资期内任何一年所产生的利息都相等,2020/9/2,47,标准复利：,一般复利：,连续复利：,注 复利在投资期第n年内的利息量随着n的增大而单调增加,2020/9/2,48,各种计息方法的比较,（一）对终值进行比较 （二）对积累函数的性质进行比较 （三）对所产生的利息量进行比较 （四）对利率的变化情况进行比较,2020/9/2,49,（四）对利率的变化情况进行比较,年利率为i ，则第n年的利率为：,单利：,标准复利：,一般复利：,连续复利：,2020/9/2,50,各种计息方法的比较,
16、（一）对终值进行比较 （二）对积累函数的性质进行比较 （三）对所产生的利息量进行比较 （四）对利率的变化情况进行比较 （五）复利计息方式的优缺点,2020/9/2,51,（五）复利计息方式的优缺点,优点 体现了资金的时间价值 每年的实际利率不变 终值不受人为利息转换方式的影响 符合资本增殖的内在规律，满足资金融通的客观要求 缺点 计算较复杂,2020/9/2,52,各种计息方法的比较,（一）对终值进行比较 （二）对积累函数的性质进行比较 （三）对所产生的利息量进行比较 （四）对利率的变化情况进行比较 （五）复利计息方式的优缺点 （六）单利计息方式的优缺点,2020/9/2,53,（六）单利计息方式的优缺点,优点 计算较简单 缺点 实际利率逐年下降 终值受人为因素影响 不符合资本增殖的内在规律，不满足资金融通的客观要求,2020/9/2,54,1.1 利息度量,利息的基本概念 积累值与积累函数 计息方法 实际利率与名义利率 （一）实际利率,2020/9/2,55,（一）实际利率（实质利率、有效利率）,定义一,注,投资到n期末的积累函数的值等于各期积累因子的乘积,2020/9
