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1、第三章 无约束优化方法,第一节 概述 研究无约束优化方法的意义： 1。解数学模型本身就是一个无约束优化问题 2。为有约束优化问题打好基础 3。约束问题的求解可通过一系列无约束方法来达到 无约束优化问题是：求n维设计变量 x=(x1,x2,xn)T 使目标函数f(X)-min 而对x没有任何限制条件,f=0 这是个n个未知量，n个方程的方程组，并且一般是非线性的。 *数值计算方法： xk+1=xk+ kkdk (k=0,1,2,),设目标函数为F(x1,x2) 策略： 1。选初始点 x1(0), x2(0) 2。固定 x2=x2(0) 变动 x1。按一维搜索求极值点x1(1) 3。固定 x1=x
2、1(1) 变动 x2。按一维搜索求极值点x2(1) (只有当F(x1,x2) =F1(x1)+ F2(x2)时x1(1) x2(1)才为最优解),第二节、坐标轮换法,4。检查迭代终止准则 (x1(1) -x1(0) ) 2 +(x2(1) x2(0) ) 2 0.5 （其中为预定的迭代精度） 如满足上述检查条件，优化点取 x1(2) x2(2) 终止 5。 x1(0)= x1(1) ，x2(0)= x2(1) 转到第2步 例： F(x1,x2)= x12+ x22- x1 x2- 10 x1 -4x2+60 给定：x1(0)=0，x2(0) =0 =0.1 解 1 x2 = x2（0）=0，变
3、动x1，求极值 F= x12-10 x1+60 x1= x1（0）+a1=a1 F(a1)= a12-10a1+60 dF/da1=2 a1-10=0 a1=5 x1= x1（0）+a1=5 得一组解 x1(1)=5，x2(0) =0,2。固定x1 = x1（1）=5，变动x2，求极值 F= x22-9x2+35 x2= x2（0）+a2=a2 F(a1)= a22-9a2+35 dF/da1=2 a2-9=0 a2=4.5 x1= x1（0）+a2=4.5 得一组解 x1(1)=5，x2(1) =4.5 3.检查迭代终止准则 (x1(1) -x1(0) ) 2 +(x2(1) x2(0) )
4、 2 0.5 =(5 -0) 2 +(4.50 ) 2 0.5 6.7 0.1 继续迭代,梯度：以二元函数为例 u=f(x,y) 沿x方向变化率：u/x=fx(x,y) 沿x方向u/y=fy(x,y) 沿s方向变化率 u=(u/x) s cos+(u/y) s sin u/s=(u/x) cos+(u/y) sin=() d ()/d =(f/x)(-sin)+ (f/y)cos 令 d ()/d =0 (f/x)(-sin)+ (f/y)cos=0 tg= (f/y)/ (f/x),第三节、梯度法,梯度方向法搜索 1。选初始点X(0),收敛精度 2。计算 X(k) 点梯度（开始时 k=0)
5、梯度：g(k) =f/x1 ,f/x2 ,f/xn T 3。验算收敛精度.如果 | g(k) |=(f/x1)2 ,(f/x2)2 ,(f/xn)2 0.5 成立停止搜索 4。由X(k) 沿X(k+1) =X(k) +g(k) 一维搜索 5。转向步骤2,第四节 共轭方向法,1。共轭方向 二次函数,二、共轭方向的性质 1.若非零向量系 是对G共轭的，则这m个向量是线性无关的； 2.在n维空间中相互共轭的非零向量的个数不超过n; 3.从任意初始点出发，顺次沿n个G的共轭方向进行一维搜索，最多经过n次迭代就可以找到二次函数极小点。 性质3表明这种迭代方法具有二次收敛性。 第五节 Powell (鲍威
6、尔) 方法,第六节 单形替换法,一、基本原理 在不计算导数的情况下，先计算出若干点的函数值，从它们之间的大小关系中也可以看出函数变化的大概趋势，为需求函数的下降方向提供依据。 单纯形 在n维空间中具有n+1个顶点的多面体。 利用单纯形的顶点，计算其函数值并加以比较，从中确定出有利的搜索方向和步长，找出一个较好的点取代单纯形中较差的点，组成新的单纯形来代替原有的单纯形。使新单纯形不断地目标函数的极小点靠拢，直至搜索到极小点为止。,现以二元函数f(x1,x2)为例说明其原理,在平面上取不在一条直线上的三个点x1,x2,x3, 以它们为顶点组成一个单纯形（三角形），计算各顶点函数值，设 f(x1)f
7、(x2)f(x3) x5=x4+(x4-x1)=2x4-x1 1）f(5)f(x3) 即反射点比最好点还好， x6=x4+a(x4-x1) a扩张因子，一般取a=1.22.0 如果f(x6)f(x5) 扩张有利，x6代替x1,否则，x5代替x1.,(2) f(x3)=f(x1) 即反射点比最差点还差，收缩的多一些，在x1 x4之间取点 x8=x4-b(x4-x1)=x4+b(x1-x4) (5) f(x)f(x1),所有点都比最差点差，说明不能沿此方向搜索。此时，以x3为中心缩边，使顶点x2,x1 向x3移近一半距离，在此基础上进行搜索。,二、计算步骤,构造初始单纯形 保证各棱是n个线性无关的向量 计算各点函数值 fi=f(xi) i=0,1,2,n 比较函数值大小，最好xl、最差xh和次差点xg 检验是否满足收敛准则|(fh-fl)/fl| 停机 x*=xl 计算xh之外重心 扩张 收缩 缩边,
