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1、5 平面图形的几何性质,5.1 静矩和形心 5.2 惯性矩 惯性半径 惯性积 5.3 平行移轴公式 5.4 转轴公式及主惯性轴,(Static Moment & Centroid of Area),5.1 静矩和形心,图5.1所示等厚度均质薄板，厚度为t,单位体积的重为g，面积为A，则薄板重心的坐标yC和zC分别为,5.1.1 形心,对均质薄板，其形心公式为,考虑形心公式，则上式可写为,或,定理：平面图形的对某一轴之矩若为零，则该轴为图形的对称轴；反之，亦然。,5.1.2 静矩,5.1.3 组合图形的静矩和形心,组合图形对某个轴的静矩等于其各部分图形对该轴静矩的代数和，即若图形可以分解为n个规
2、则图形的和，则,其中Syi是第i个简单图形对y轴的静矩 ，Ai是相应图形的面积，zci是图形形心的z向坐标。,而组合图形的形心公式则为,例1 试确定图示图形的静矩和形心C的位置。,解：取微面积dA=b(z)dz，则,形心坐标yc为,图形对y轴的静矩为,例2 求右图示组合图形的静矩。,解：将原图在右端补满，其中内部黄色的矩形和外部白色的矩形均为规则图形，要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。,对图形I和图形II,有,Inertial moment, inertial radius & Product of inertia,5.2 惯性矩 惯性半径 惯性积,定义,分别称Iy、I
3、z为图形对y轴和z轴的惯性矩。惯性矩的量纲是长度4，惯性矩是恒正的量。,5.1.1 惯性矩,惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4，mm4。,惯性矩的大小不仅与图形面积有关，而且与图形面积相对于坐标轴的分布有关。面积离坐标轴越远，惯性矩越大；反之，面积离坐标轴越近，惯性矩越小。,或,iy和iz分别称为图形对于y 轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。,5.2.2 惯性半径(inertial radius),定义,定义为图形对坐标原点o的极惯性矩。极惯性矩恒为正值，它的量纲为长度4，常用单位为m4和mm4。,5
4、.2.3 极惯性矩(polar moment of inertia),由于,所以,此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。,5.2.4 惯性积(product of inertia),定义,为图形对y、z轴的惯性积 。,惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是长度4 ，常用单位为m4和mm4。,定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴的惯性积必然为零。,5.2.5 常见图形的惯性矩、惯性积,很容易得到下列结果,1. 均质矩形板,质量为m，长度为l的均质杆，建立图示坐标系，则有,2 圆形,半径为R的圆形，选取图示圆环形积分微元，,3. 圆环形,由于y轴为对称轴，故,圆环形对y(或z
5、)轴的惯性矩为,为第i个图形对y轴的惯性矩，余类推。,5.2.6 组合图形的惯性矩、惯性积,组合图形对某个坐标轴的惯性矩等于各简单图形对于同一坐标轴的惯性矩之和；组合图形对某对垂直坐标轴的惯性积，等于各简单图形对该对坐标轴惯性积之和，即,例3 求图示图形对y轴的惯性矩。,解：将该组合图形视为由三个矩形、的组合，则每个矩形对y轴的惯性矩为,从而整个图形对y轴的惯性矩为,及坐标变换公式,对于平面图形，建立坐标系oyz和基于形心C的坐标系Cyczc，由定义,5.3 平行移轴公式(parallel axis theorem),将图形对y轴的惯性矩用关于形心坐标系的坐标来表达,由于yc是过形心的轴，所以,小结 移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心； 在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。,同理可得,例4 试求图示图形对形心轴的惯性矩和惯性积。,求图形对y、z轴的惯性矩,解：将图形看作是两个矩形的结合。形心坐标为,由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为,若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,5.4 转轴公式及主惯性轴,基本概念,图形对某一对坐标轴y和z取得极值时，图形对该坐标轴的惯性积为零。 y和z轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有坐标轴的惯性矩的极值。,
