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1、基于 Contourlet 变换的稳健性图像水印算法摘 要：提出了基于 Contourlet 变换的数字图像水印算法。与小波变换不同的是，Contourlet 变换采用类似于线段（contour segment）的基得到一种多分辨、局部化、方向性的图像表示。水印信号通过基于内容的乘性方案加载到 Contourlet 变换系数。在采用零均值广义高斯分布拟合 Contourlet 变换系数的基础上，提出采用极大似然估计实现水印的盲检测。依据 Neyman-Pearson 准则，在给定虚警率的情况下对判决准则进行了优化。实验结果表明在保证水印隐蔽性的前提下，水印对常见的信号处理手段以及几何变换具有很
2、好的稳健性。关键词：数字水印；Contourlet 变换；广义高斯分布；极大似然检测；Neyman-Pearson 准则Robust image watermarking algorithmbased on contourlet transformAbstract: A novel robust watermarking algorithm in Contourlet domain was proposed. The Contourlet transform wasadopted by virtual of its advantages over the wavelet transform.
3、A flexible multiresolution, local, and directional imageexpansion was obtained using contour segments. The watermark was inserted through content-adaptive multiplicativeembedding. The Contourlet coefficients were modeled as generalized Gaussian distribution (GGD) with zero mean. Thenthe maximum like
4、lihood watermark detection method was developed. Under the Neyman-Pearson criterion, the decisionrule was optimized by minimizing the probability of missing the watermark for a given false detection rate. Experimentalresults demonstrate that the proposed algorithm is invisible, and robust to signal
5、processing.Key words: digital watermarking; Contourlet transform; generalized Gaussian distribution; maximum-likelihood detection;Neyman-Pearson criterion1 引言数字水印技术是近年来信号处理和信息安全领域的研究热点之一，其核心是在不影响数据可用性的前提下把不可移除的水印信号嵌入在待保护的原始信号中。水印信号可以完整地、正确地提取或检测出来，以解决所有权纠纷、盗版跟踪等问题。常见的图像水印算法将水印信号镶嵌在图像变换（DCT、DFT 和 DWT
6、 等）后的系数中，利用相关检测判断水印存在与否1,2。基本原理阐述如下：计算可疑作品与水印信号之间的相关系数，通过事先设定的阈值 T 判断可疑作品中是否存在相应的水印。一个典型的水印相关检测器由两部分构成：相关系数的计算和判决阈值的确定，如图 1 所示。可疑作品 I 与原始水印 W 之间的相关系数的计算公式如式(1)图 1 数字水印相关检测器可以证明，当嵌入水印的变换系数服从高斯分布时，基于相关的检测方法是最优的，能够最小化错误概率。但是，当变换系数不服从高斯分布时，基于相关的水印检测器是次优的。大量的实验数据表明几乎所有数字图像的概率分布都是非高斯的。文献3提出了采用 Laplacian 分
7、布描述小波系数的概率分布，构造了一种新的水印解码方案；研究成果表明，非线性接收机非常适于检测淹没在呈重尾分布噪声中的微弱信号，Briassouli 和Striintzis4使用局部优化柯西（Cauchy ）非线性检测基于 DCT 变换的图像水印。本文提出了一种新的基于 Contourlet 变换的图像水印算法。以往的变换方法，如DCT、DWT 等，一般是最初在连续域进行构造，然后当应用于数字信号时再对变换自身进行离散化。与之不同的是，Contourlet 变换在离散域采用滤波器组进行构建，然后通过多分辨分析框架得到连续形式的展开。Contourlet 变换已经发展成为一种“真正”的能够捕捉几何
8、结构的二维信号表示5。通过采用不可分离的滤波器组对图像进行多尺度、多方向展开，就可得到灵活的多尺度、局部化和方向性的图像表示6。在选取的某尺度子带内，选择最显著的方向子带作为水印的嵌入位置。在采用零均值广义高斯分布拟合 Contourlet 变换系数的基础上，提出采用极大似然估计实现水印的盲检测。依据 Neyman-Pearson 准则，在给定虚警率的情况下对判决准则进行了优化。实验结果证明了本文水印算法的有效性、隐蔽性和稳健性。2 Contourlet 变换小波理论的兴起，得益于对信号的时、频局部分析能力、对一维有界变差函数类的最优逼近性能，以及多分辨分析概念的引入。对于含奇异曲线的二维分片
9、光滑函数， 其非线性逼近误差 n (M) = f . fM 2 的衰减速度，傅立叶变换、小波变换和 Contourlet 变换分别为 O(M.1 2 )、O(M.1) 和 O(logM)3M.2 ) 7。由于二维小波是由一维小波张成的可分离小波只具有有限的方向，即水平、垂直、对角，方向性的缺乏使得小波变换不能充分利用图像本身的几何正则性。图 2 刻画了 Wavelet 与 Contourlet 的不同。图 2 Wavelet 与 Contourlet 的对比文献8提出的 Contourlet 变换是一种基于图像的几何性变换，能有效地表示 contour 和纹理丰富的图像。通过采用不可分离的滤波
10、器组对图像进行多尺度、多方向展开，就可得到灵活的多尺度、局部化和方向性的图像表示。对于 N 个像素的图像而言，离散Contourlet 变换的快速迭代滤波器组算法需进行 N 阶操作。 Contourlet 变换与二维 Gabor 小波变换、方向性金字塔（the steerablepyramid）的主要不同之处是后两者无法在达到近似严格采样的前提下，每个尺度下进行不同个数方向的分解。图 3 给出了 Contourlet 变换的流程图。图 3 Contourlet 变换的基本流程Contourlet 变换将多尺度分析和方向分析分开进行，首先用拉普拉斯金字塔（LP， laplacianpyramid
11、）变换进行多尺度分析捕获点奇异性，接着使用方向性滤波器组（DFB， directional filter bank）将分布在同一方向上的奇异点合成为一个系数，捕获高频分量（即方向性） 。由于方向性滤波器本身不适合处理图像的低频部分，因此 LP 的另外一个作用就是避免低频分量的“泄漏” （leaking） 。LP 和 DFB 二者的结合，就构成了Contourlet 变换的核心， “塔式方向滤波器组 ”（PDFB，pyramidal di 第 4 期 李海峰等：基于 Contourlet 变换的稳健性图像水印算法 89rectional filter bank） 。图 4 给出了Contourl
12、et 变换一个可能的频率分解。由于 LP 和 DFB 具备完全重构特性，因此其组合PDFB 也必然能实现完全重构。由于 LP 的冗余性，Contourlet 变换具有 4 3 的冗余度9。图 4 一个 Contourlet 变换可能的频率分解的示例令 I0 表示输入图像，IJ 和 Bj ( j =1,2,.J )分别表示低通子图像和 LP 变换后的第 j 个带通子图像。第 j 阶 LP 将子图像 j 1 I . 分解为一个低通子图像 J I 和一个带通子图像 j B 。每个带通子图像 j B 被第 j l 阶 DFB 进一步地分解为 2l j 个带通方向性子图像( ),l jj k d ， 0
13、,1, 2l j 1 k = . . 。3 Contourlet 系数的数学统计模型建立准确的 Contourlet 系数数学统计模型是设计最优的水印检测器的基础。图 5 绘出了采用 2 级 LP 和最精细子带 8 方向的 Peppers 图像的 Contourlet 变换以及精细子带Contourlet 系数的直方图。由图可以看出，Contourlet 系数的概率分布在零点处具有非常尖锐的峰并且在峰的两侧有重重的拖尾。信号处理中，通常采用峰起（kurtosis）衡量信号的高斯性。零均值随机变量 x 的峰起定义为 Kurt(x) = Ex4. 3(Ex2)2 (2)其中， E . 表示数学期望
14、。对于高斯信号而言，峰起值为 3。Peppers 图像 Conturlet 变换的第二级子带的各个子图像的峰起分别为 31.7633、17.3588、25.3124 和 28.3997。显然，Contourlet 变换系数的边缘概率分布是明显的非高斯分布，使用高斯分布拟合 Contourlet 变换系数是不合理的。(b) 第二级 LP 各方向子带系数的统计直方图图 5 Contourlet 变换及其系数直方图提出采用零均值广义高斯分布（GGD, generalizedGaussian distribution）描述 Contourlet 变换系数的概率分布，其概率分布函数为( ) exp( )
15、 cX f x = A . x (3)其中,2(1 )A cc= , 1 (3 )(1 )cc= , 10(z) e tt z dt = . . ,( z 0 )。 表示标准差，正实数 c 为形状参数。当 c =1 和 c = 2 时，GGD 分别称之为拉普拉斯分布和高斯分布。为了设计有效的水印检测器，必须准确的估计形状参数 c 和标准差 。文献9评价了传统的估计理论在估计大抽样和小抽样样本的 GGD 模型时的准确性，结果表明 ML 估计子非常适于拖尾分布。因此，本文采用极大似然估计法估计广义高斯分布参数。经过一系列的推导计算，可得到参数 的估计值 11. ( )Lc ciic xL= (4)
16、其中， L 表示采样数目。形状参数 c 的估计值通过解下述方程得到.1 1.log log( )(1 .) 1 0. .L Lc ci i(5)其中， (.) 为 Digamma 函数。方程的解 c. 通过 Newton-Raphson 迭代得到10 。实验结果表明，在解的精度为 10.6 阶时，典型的只需要三次迭代步骤。图 6 绘制了一个典型的 Contourlet 子带系数的直方图以及使用 ML 估计子拟合的零均值GGD 曲线。图 6 采用零均值 GGD 拟合 Contourlet 变换系数，估计的参数分别为 =0.4911, c=0.59514 基于 Contourlet 变换的水印算法4.1 水印编码器文献11主张水印应该嵌入在待保护图像的感知重要的特征中。在研究 Contourlet 变换的基础上，提出了内容依赖的水印嵌入算法，将水印信号镶嵌在图像的能量最大的图像边缘。对原始图像进行 Contourlet 分解后，
