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1、,小结与复习,第19章 四边形,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,四边形,平行四边形,矩形,菱形,正方形,四边形,两组对边 分别平行,平行四边形,矩形,一个角是直角,菱形,一组邻边相等,正方形,一组邻边相等,一个角是直角,1.四边形与特殊四边形的关系,关 系 图,知识网络,一、多边形的内角和与外角和（n边形）,多边形的内角和等于(n-2) 180 ,多边形的外角和等于 360 ,正多边形每个内角的度数是,正多边形每个外角的度数是,要点梳理,多边形的对角线条数等于,正多边形每个外角与相邻内角的和是,1、如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后 的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符
2、合 要求的是（） A. B. C. D. ,B,2、将一个多边形截去一个角后得到的新的多边形的内角和将会（ ） A、不变 B、增加 180 C、减少 180 D、不变，增加180，减少180,D,例1:已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.,解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x, 则x+4x=180,解得 x=36. 边数n=36036=10.,考点讲练,在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.,1.一个正多边形的每一个内角都等于120 ，则
3、其边数是 ，对角线条数是_,6,【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60 .所以边数是6.对角线条数为9,9,几 何 语 言,文字叙述,对边平行,对边相等,对角相等, AD=BC ，AB=DC., 四边形ABCD是平行四边形，, A=C， B=D., 四边形ABCD是平行四边形，,二、平行四边形的性质,对角线互 相平分, 四边形ABCD是平行四边形，, OA=OC，OB=OD., 四边形ABCD是平行四边形，, ADBC ，ABDC.,推论1 夹在两条平行线间的平行线段相等,推论2 平行线之间的距离处处相等,例2 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错
4、误的是（） A1=2 BBAD=BCD CAB=CD DAC=BC,【解析】A.四边形ABCD是平行四边形， ABCD，1=2，故A正确； B.四边形ABCD是平行四边形， BAD=BCD，故B正确； C.四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，故C正确,D,例3 如图，在ABCD中，ODA=90，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（） A4cm B5cm C6cm D8cm,【解析】四边形ABCD是平行四边形， AC=10cm，BD=6cm OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm， ODA=90， AD= =4cm,A,主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线
5、互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.,【解析】在ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm， AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm， BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=59(cm),3.如图，在ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则BOC的周长是（） A45cm B59cm C62cm D90cm,B,如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC10，BD=8,则 AD 的取值范围是 _.,1AD9,AD6,CD8,OD,1OD7,2.如图，已知ABC
6、D中，AE平分BAD，CF平分BCD，分别交BC、AD于E、F求证：AF=EC,证明：四边形ABCD是平行四边形， B=D，AD=BC，AB=CD，BAD=BCD， （平行四边形的对角相等，对边相等） AE平分BAD，CF平分BCD， 1= BAD，4= BCD，1= 4， 在ABE和CDF中 BD ABCD EABFCD ABECDF，BE=DF AD=BC AF=EC,),),(,(,1,2,3,4,在平行四边形ABCD中，若AE平分DAB，AB=5cm,AD9cm,则EC _,C,4cm,A,B,D,E,9cm,1,2,5cm,9cm,3,F,FC_,4cm,拓展2：已知如图，平行四边形
7、ABCD的四个 内角的平分线分别相交于点E，F，G， H， 若EF=2，EH=HC=5，则AC的长_,M,N,13,5,5,5,2,几 何 语 言,文字叙述,两组对边相等,一组对边平行且相等,四边形ABCD是平行四边形., AD=BC ，AB=DC, 四边形ABCD是平行四边形., AB=DC，ABDC,三、平行四边形的判定,对角线互相平分, 四边形ABCD是平行四边形., OA=OC，OB=OD,两组对边分别平行（定义）,四边形ABCD是平行四边形.,ADBC ，ABDC,例4 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（） AOA=OC，OB=OD
8、 BBAD=BCD，ABCD CADBC，AD=BC DAB=CD，AO=CO,D,（1）已知：ADBC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件可以是_,或AD=BC、或A=C、或B=D 、 或A+D=180、 或B+C=180,例题选讲,AB,（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；,（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；,（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;,（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；,（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.,2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边
9、，并且等于第三边的一半.,四、三角形的中位线,用符号语言表示,DE是ABC的中位线,DEBC,F,1.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为;,解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x， 则三角形的三条边长之长分别为12x,10 x,8x， 依题意有 12x10 x8x60，,解得 x2.,所以，最长边12x24（cm）.,24 cm,1已知ABC的周长为1，连结ABC的三边中点构成第二个三角形， 再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推， 第2018个三角形的周长是（ ）,D,2、如图所示，已知四边
10、形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点， E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动 而点R不动时， 那么下列结论成立的是 （ ）,A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长不能确定,C,如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G分别是 AB，CD，AC的中点。 (1)求证：EFG是等腰三角形。 (2)若DAC=20，ACB=60，求EFG,1、点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点， 则四边形EFGH下列说法正确的是（ ）,A、一定不是平行四边形 B、一定不是中心对称图形 C、可能是轴对称图形
11、D、当AC=BD时，它是矩形,C,决定中点四边形的形状的主要因素是：,原四边形的对角线的数量关系和位置关系,平行四边形,菱形,矩形,正方形,例5 已知：AD是ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证： .,证明：过点D作DHBF,交AC于点H. AD是ABC的中线. D是BC的中点. CHHF CF. E是AD的中点，EFDH. AFFH. AF FC.,A,B,C,D,E,F,H,平行且相等,平行 且四边相等,平行 且四边相等,四个角 都是直角,对角相等 邻角互补,四个角 都是直角,互相平分且相等,互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角,互相垂直且平分，每一条对
12、角线平分一组对角,五、矩形、菱形、正方形的性质,例6：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, AOD=120,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.,解：四边形ABCD是矩形. AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分) OA = OD.,AOD=120, ODA=OAD= (180- 120)=30. 又DAB=90 , （矩形的四个角都是直角） BD = 2AB = 2 2.5 = 5.,定义：有一个角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形,定义：一组邻边相等的平行四边形 四条边都相等的四边
13、形 对角线互相垂直的平行四边形,定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形,六、矩形、菱形、正方形的判定方法,7.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BEAC，CEBD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.,D,A,B,C,E,O,解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ACBD. BOC=90. DEAC,CEBD， 四边形CEBO是平行四边形. 四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.,例7：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD =6，求菱形
14、的边长AB和对角线AC的长. 解：四边形ABCD是菱形， ACBD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = 6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中， BAD=60， ABD是等边三角形. AB = BD = 6.,证明：在AOB中. AB= , OA=2,OB=1. AB2=AO2+OB2. AOB是直角三角形, AOB是直角. ACBD. ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).,8. 已知：如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： ABCD是菱形.,9.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形
15、ABCD是什么形状？说说你的理由.,A,B,C,D,E,F,解：四边形ABCD是菱形. 过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F. S 四边形ABCD=AD CF =AB CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形. AD = AB . 四边形ABCD是菱形.,例8：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下： （1）四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE =90 . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） DCF=180-BCE=180-90=90.,A,B,D,C,F,E,BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF. (2)延长BE交DE于点M, BCEDCF , CBE =CDF. DCF =90 , CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90. BEDF.,A,B,D,F,E,C,M,10. 如图,在矩形ABCD中, BE平分ABC , CE平分DCB , BFCE , CFBE. 求证：四边形BECF是正方形.,F,A,B,E,C,D,解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形.,
