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1、最优化方法复习题第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题1 2 3 设 若，对于一切恒有，则称为最优化问题的全局最优解. 4 设 若，存在的某邻域，使得对一切恒有，则称为最优化问题的严格局部最优解. 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. 6 非空集合为凸集当且仅当中任意两点连线段上任一点属于. 7 非空集合为凸集当且仅当中任意有限个点的凸组合仍属于. 8 任意两个凸集的并集为凸集. 9 函数为凸集上的凸函数当且仅当为上的凹函数. 10 设为凸集上的可微凸函数，. 则对，有 11 若是凹函数，则是凸集。 12 设为由求解的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，则对，恒有
2、 .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_。14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 15 函数在点沿着迭代方向进行精确一维线搜索的步长，则其搜索公式为 .16 函数在点沿着迭代方向进行精确一维线搜索的步长，则 0 .17 设为点处关于区域的一个下降方向，则对于，使得 二、 简述题1 写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。2 怎样判断一个函数是否为凸函数.（例如: 判断函数是否为凸函数） 三、 证明题1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 判断（其中G是正定矩阵）是凸规划.2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.第二章 线性规划考虑线性规划问题：其中， 为给定的数据，且ran
3、k一、 判断与选择题1 (LP)的基解个数是有限的. 2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. 3 (LP)的解集是凸的. 4 对于标准型的(LP)，设由单纯形算法产生，则对，有 5 若 为(LP)的最优解， 为(DP)的可行解，则 6 设是线性规划(LP)对应的基的基可行解，与基变量对应的规范式中，若存在，则线性规划(LP)没有最优解。7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：_.8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. 二、 简述题1 将以下线性规划问题化为标准型：2 写出以下线性规划的对偶线性规划： 三、 计算题熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（
4、包括大M法及二阶段法）. 见书本：例2.5.1 (利用单纯形表求解);例2.6.1 (利用大M法求解); 例2.6.2 (利用二阶段法求解).四、 证明题 熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。 第三章 无约束最优化方法一、 判断与选择题1 设为正定矩阵，则关于共轭的任意向量必线性相关. 2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. 3 经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. 4 PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法. 5 用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定
5、线性无关. 6 FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性. 7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性. 8 函数在处的最速下降方向为 .9 求解的经典Newton法在处的迭代方向为 .10 若在的邻域内具有一阶连续的偏导数且，则为的局部极小点. 11 若在的某邻域内具有二阶连续的偏导数且为的严格局部极小点，则正定. 12 求解的最速下降法在处的迭代方向为 .13 求解的阻尼Newton法在处的迭代方向为 .14 用牛顿法求解时，至多迭代一次可达其极小点. 15 牛顿法具有二阶收敛性. 16 二次函数的共轭方向法具有二次终止性.
6、17 共轭梯度法的迭代方向为：_.二、证明题1 设为一阶连续可微的凸函数，且，则为的全局极小点.2 给定和正定矩阵. 如果为求解的迭代点， 为其迭代方向，且为由精确一维搜索所的步长，则3 试证：Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点.四、 简述题1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.2 简述共轭梯度法的基本思想.五、 计算题1 利用最优性条件求解无约束最优化问题.例如：求解 2 用FR共轭梯度法无约束最优化问题. 见书本：例3.4.1.3 用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.见书本：例3.4.1.例如：第四章 约束最优化方法考虑约束最优化问题：其中， 一、判断与选择题1 外罚
7、函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT. 2 使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解. 3 在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为 . 4 在（NLP）中，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数为 .5 在（NLP）中，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为 ，对.6 在（NLP）中，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：_7 对于(NLP)的KT条件为：_二、计算题1 利用最优性条件(KT条件)求解约束最优化问题.2 用外罚函数法求解约束最优化问题.见书本：例4.2.1；例4.2.2.3 用内
8、罚函数法求解约束最优化问题.见书本：例4.2.3.4 用乘子法求解约束最优化问题.见书本：例4.2.7；例4.2.8.三、简述题1 简述SUMT外点法的优缺点.2 简述SUMT内点法的优缺点.四、证明题利用最优性条件证明相关问题. 例如：设为正定矩阵，为列满秩矩阵.试求规划的最优解，并证明解是唯一的.第五章 多目标最优化方法一、判断与选择题1 求解多目标最优化问题的评价函数法包括 .2 通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题. 3 设，则在上的一般多目标最优化问题的数学形式为 .4 对于规划，设，若不存在使得，则为该最优化问题的有效解. 5 一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解. 6 对于规划，设为相应于的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优化的目标函数为 .7 利用求解的线性加权和法所得到的解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解. 二、简述题1 简单证明题 绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.l 第5.2节中几个主要结论的证明.2 简单叙述题 简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想.l 简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想. 简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.l 简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的 基本思想.
