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1、12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1 （1994年、数学三、选择）设是来自总体的简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度的分布的随机变量是（）。. .答案：选当时，服从自由度的分布的随机变量应为 、由， 而不是、由 。2 （1997年、数学三、填空）设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为（）的（）分布。 答案：参数为（）的（）分布解：由相互独立，均服从分布，又与分别来自总体，可知与之间均相互独立，均服从分布因而，且与相互独立，因而服从参数为的分布。3 （1998年、数学三、填空）设是取自正态总体的简单随机样本且，则（），（）时，统计量服
2、从分布，其自由度为（）。 同学习指导文件综例6.9.1 答案：（），（）时，统计量服从分布，其自由度为（）由统计量设即由可知，且 若统计量服从分布，则由，可知自由度为且服从标准正态分布，即，。4 （1999年、数学三、证明）设是取自正态总体的简单随机样本，证明统计量服从自由度为的分布。证明：记（未知），易见，由于和相互独立，可见，从而 由正态总体样本方差的性质，知 由于与独立、与以及与独立，可见与独立。于是，由服从分布的随机变量的结构，知 。5 （2001年、数学三、填空）设总体X服从正态分布,而是来自总体的简单随机样本，则随机变量 服从（ ）分布，参数为（ ）。 同学习指导文件综例6.9.3
3、 答案 填：F (10,5)解：且显然此二者相互独立，则： 6 （2001年、数学四、计算）设总体X服从正态分布，从中抽取简单随机样本，（），其样本均值为，求统计量的数学期望E(Y)。解： 魏宗舒1. 设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。2. 解 2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。2.解（1） 0 其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值
4、样本方差实际应为除以n-1样本标准差。3. 查表求，。3. 解 ，。 4. 设，求常数，使。4. 解 由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。 5. 设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。5.证明：（1）独立同分布于，由分布的定义，即。（2）易见，即，由分布的定义，即。6. 设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。6. 解（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。（2）由于，则。又，与相互独立，则即 即，自由度为3。7. 设是
5、取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。7. 解 （1） （2）（3），其中8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。8. 解（1）引入新变量： 1，第个样本居民年收入超过1万 0，第个样本居民年收入没超过1万其中易见：又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。0-1分布Ex=p,Dx=pq样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为（
6、2）同（1）解法引入新变量： 1，第个样本居民受过高等教育 0，第个样本居民未受过高等教育其中答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。9. 设总体，（1）抽取容量为36的样本，求；（2）抽取容量为64的样本，求；（3）取样本容量n多大时，才能使。9. 0.9916，0.8904，96。10. 设总体，皆未知，已知样本容量，样本均值，修正样本方差，求。10. 0.5。11.设是来自正态总体，容量为的样本，求下列统计量的抽样分布：（1）；（2）；（3）。11. (1)；（2）；（3）。12.若，则服从什
7、么分布？12. 。 13.设是来自泊松分布的一个样本，与分别为样本均值与样本方差，试求。13. ，。 14. 某区有25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有1600户家庭的随机样本，试求：9%11%之间的样本家庭没有汽车的概率。14. 0.8164。1.设总体XN（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】=60,2=152,n=100即 2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？【解】 则(0.4)=0.975，故0.41.
8、96,即n24.01，所以n至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命XN（1000，2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（1062）.【解】=1000,n=9，S2=10024.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】，由P(|-|4)=0.02得P|Z|4(/n)=0.02,故,即查表得 所以 5.设总体XN（，16），X1，X2，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P
9、（S2a）=0.1，求a之值.【解】查表得 所以 6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=，n5服从何种分布？【解】且与相互独立.所以7.求总体XN（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.【解】令的容量为10的样本均值，为容量为15的样本均值,则N(20,310), N(20,)，且与相互独立.则那么所以 8.设总体XN（0，2）,X1,X10,X15为总体的一个样本.则Y= 服从 分布,参数为 . 【解】i=1,2,15.那么且与相互独立,所以所以YF分布，参数为（10,5）.9.设总体XN（1
10、,2）,总体YN(2,2),X1,X2,和Y1，Y2，分别来自总体X和Y的简单随机样本，则= . 【解】令 则 又那么 10.设总体XN（,2），X1，X2，X2n（n2）是总体X的一个样本，令Y=，求EY. 【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,n.则ZiN(2,22)(1in),且Z1,Z2,Zn相互独立.令 则 故 那么所以11. 设总体X的概率密度为f(x)= (-x+),X1，X2，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，求E(S2).解： 由题意，得于是 所以.第7章 参数估计7 （1998年、数学一、计算）设容量为n的简单随机样本取自总体N ( 3.4, 36 ),且
11、样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？解：设是取自总体的简单随机样本，则： 又由于： 则：，查表得即知样本容量n至少应取35.8 （1993年、数学三、填空）设总体的方差为，据来自的容量为的简单随机样本，测得均值为，则的期望的置信度近似等于的置信区间为（）。 答案：填据题意可知，且，由，即，查表得，可知 因而总体的期望的置信度近似等于的置信区间为。9 （1996年、数学三、填空）由来自正态总体，容量为的简单随机样本，若得到样本均值，则未知参数的置信度为的置信区间为（）。 答案：填据题意可知，又由，得，即。10 （2000年、数学三、计算）假设是总体的简单随机样本值，已知服从正态分布。（1）求的数学期望（记为）；（2）求的置信度为的置信区间；（3）利用上述结果求的置信度为的置信区间。解：（1）的概率密度为： ，于是，（令） （2）当置信度时，。标准正态分布的水平为的分位数为。故由，可得 其中 于是，有 从而就是的置信度为的置信区间。（3）由函数的严格递增性，可见 因此的置信度为的置信区间为。11 （1997年、数学一、计算）设总体X的概率密度为 其中未知参数，是取自
