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1、数学建模中竞赛阅读中的问题数学建模中竞赛阅读中的问题 摘 要摘 要 本文主要研究的是数学建模竞赛中试卷的优化配发， 评分的标准化处理及对 教师的评阅效果定量评价的问题 问题一：针对试卷的随机分发问题，先利用 MATLAB 软件自带的 randperm 函数产生一个 1 至 500 的随机矩阵，再用 reshape 函数对其进行重新排列成 25 行 20 列的矩阵，对矩阵 y 进行列列交换的变化成两个新矩阵 y1 与 y2，构成 75 行 20 列的新矩阵 z=，从而实现对试卷的随机分发；针对均匀性问题，2, 1,yyy 以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的评定指标，从多个随机分配方案中，选 取
2、交叉数方差最小的任务单供组委会使用 问题二：评分的预处理需要对评阅教师的分数进行标准化，评分预处理方法 是将不同的评分者变换到同一个尺度下，就是以某一位评分者的均值作为参照 点，以其标准差表示距离转化为以零为参照点的标准分；然后采用均值为 70 标 准差为 10 将标准分转化为百分制的标准，分这样使得标准分与原始分相差不大 ； 最后将同一份试卷的三个标准评分的几何平均值作为该份试卷的最终标准分 将 附录中的 200 份试卷的数据根据用 Excel 软件的统计与函数功能最终得到各份试 卷的标准分值 问题三：针对教师评阅效果的评价问题，本文给出两个评价标准：分别是评 阅的原始成绩的可信度和评阅的原
3、始成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的偏 差值的稳定性对于可信度，结合评分分制，对评阅的原始成绩与成绩标准化合 成后的最终成绩的差分值做百分化处理，建立可信度数学模型，得出可信度最高 的有 10，11，15，19，20 号教师，高达 96%；对于偏差值的稳定性，采用偏差 值的方差来反映， 得出稳定性最好的是第 3 号教师， 稳定性较好的还有第 1， 7， 10， 11，19 号教师最后，综合可信度和偏差值的稳定性两项指标，得出评阅效果 较好的教师有第 1，3，10，11，15，19，20 号教师，在下一次阅卷后合成成绩 的时候可以考虑给他们以更大的权重 关键词：关键词： 随机数随机数 矩阵矩阵
4、标准化标准化 参照点参照点 可信度可信度 偏差值偏差值 一、问题重述一、问题重述 众所周知，数学建模问题无处不在，我们身边的生活、工作中随处可见各式 各样的数模问题数模竞赛之后都要经过阅卷的过程，除了几十名教师参与繁重 的评阅试卷的工作外，许多管理工作都有很强的技术性比如试卷的分发、教师 评分的预处理、对每位教师评阅效果的评价等这些做得好坏，直接影响着评阅 的合理性和公正性，我们追求最优、最准确的评阅效果 一次竞赛通常试卷有几百份，评阅前已将试卷打乱编号每份试卷就是一 篇科技论文，评阅教师需要综合考虑各方面情况给出一个成绩每份试卷应有三 名不同的教师评阅，所给出的三个成绩合成该试卷的最后成绩各
5、位教师对自己 所在单位的试卷应该回避， 但这件事比较容易处理， 我们这里就不考虑这个原因， 也就是假设教师都没有本单位的试卷 问题一：试卷的随机分发问题一：试卷的随机分发 考虑有 500 份试卷由 20 名阅卷教师评阅的情 况每份三人评阅就共需要 1500 人次，每人阅卷 75 份提前编写程序，让试卷 随机地分发到教师的任务单中注意让每份试卷分给每位教师等可能，另外任何 两位教师交叉共同评阅一份试卷的情况也尽量均匀， 即尽量不要出现交叉次数过 多或过少的情况再编写一个程序，对一次分发的任务单进行均匀性的评价然 后可以在多次生成的任务单中选出一个评价比较好的来使用 请给出两个程序的 算法或框图，
6、并选出一个好的分配任务单供使用及对它的评价如果在评阅试卷 时，每位教师都不能评阅本单位的试卷，该如何分发？ 问题二：评分的预处理问题二：评分的预处理 全部阅完之后，就要进行成绩的合成了但是，每 个人见到的卷子不同，实际评分标准也不完全相同（尽管评阅前已经集体开会、 讨论，统一评卷标准） ，大家的分数没有直接的可比性，所以不能简单地合成， 需要预处理比如，可能出现一份试卷的两位评阅教师都给出 70 分的评价，但 是其中一个 70 分是他给出的最高分，另一个则是他的最低分，能认为这个试卷 就应该是 70 分吗？！请设计一个成绩预处理的算法把教师给出的成绩算得标准 化成绩，然后用三个标准化成绩就可以
7、直接合成了，使得合成的成绩尽量地公平 合理并且为后面对教师评阅效果的评价提供方便 问题三：教师评阅效果的评价 问题三：教师评阅效果的评价 阅卷全部结束之后，组织者要对所聘请的教 师有一个宏观的评价，哪些教师比较认真，对评分标准掌握得也好，看论文又快 又准，因此给出的成绩比较准确，是这次阅卷的主力下次再有类似的事情一定 还请他们来，甚至于在下一次阅卷后合成成绩的时候给他们以更大的权值这些 除了在日常的生活工作中会有所感觉外，大家给出的成绩也会说明一些问题请 制定一个方法，利用每人给出的成绩，反过来给教师的评阅效果给出评价 二、问题分析二、问题分析 问题一问题一（试卷的随机分发）针对试卷的随机分发
8、问题，为了使各位教师得到 随机的分配试卷，先利用 MATLAB 软件产生随机矩阵并重排产生 75 行 20 列新 矩阵，其分别代表各老师的阅卷编号和各阅卷老师最后通过运行程序得出平均 交叉数，且生成几组可供用的任务单。针对均匀性问题，以交叉数的方差作为评 价任务单均匀性的评定指标，从多个随机分配方案中，选取交叉数方差最小的任 务单供评阅小组使用。 问题二问题二（评分的预处理）由于像数学建模这样的开放性竞赛答卷，都是由每 一个考生按照自己的思维所得到的答案，所以答卷并没有标准的答案，每一位教 师的评分标准不同对于一份试卷的所给的分值也不一样， 也就是老师的主观因素 对答卷的分数起很重要的作用，因
9、此需要对教师的分数进行标准化处理；标准化 处理的方法有很多比较著名的方法有两种分别是：归一化法、标准化分数评分 法由于归一化法本身存在着复杂难以实现，条件苛刻等的缺点而标准化分数评 分法具有较强的理论依据且能较好的把不同平均值、 标准差的一组分数转换为平 均数为 0 标准差为 1 统一的，固定不变的标准形式，因此选择放弃归一化法而采 用标准化分数评分法对评分进行预处理。 采用标准化分数评分法对分数进行标准化后出现的分数会有正有负还有零 而不是百分制的分数会让人们难以接受， 因此需要把这些分数转化为百分制的分 数转化为百分制，需要找到一个参照点作为参照以便分数统一转化，避免再次出 现不同标准的分
10、数最后就是把同一份试卷的三个分数的标准分（经过转化为百 分制的标准分）的几何平均值作为这份试卷的最终得分。 问题三问题三（教师评阅效果的评价）要对教师评阅的效果做出评价，需要给出评 价的标准，而题目已经明确给出，对教师评阅效果的评价仅以教师给出的分数为 参考，不考虑其他因素，那么主要是对每位教师给出的分数进行分析以及与试卷 的最终成绩作比对，据此可以考虑评价的标准为：1、教师评阅的原始成绩的可 信度，可信度越高，说明对评分标准的把握越好；2、教师评阅的成绩与成绩标 准化合成后的最终成绩的偏离值的稳定性，稳定性越好，说明对评分标准的把握 越好，给出的成绩越合理 三、模型假设三、模型假设 1、每位
11、教师得到每份试卷是随机的； 2、每位教师批改试卷时对待每一份试卷都是公平公正的； 3、教师不能认出所批阅的试卷是谁写的； 四、符号说明四、符号说明 ：教师交叉评阅一份试卷的份数；z K：交叉人数； D：交叉次数的方差； ：表示第 i 份试卷第 j 位教师的标准化评分； ij z ： 表示第 i 份试卷第 j 位教师的原始分数；x ：表示第 j 位教师的 75 份试卷的平均分； j x ：表示第 j 位教师评分的标准差； j ：表示将标准化分数转化为百分制后的分数； ij F ij z ：表示第 i 份试卷平均标准化百分制的分数； ij F ij y ：表示第i分试卷第 j 位教师的评阅分数与试
12、卷最终得分的差值； j y ：表示第 j 位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的平均值； j S ：表示第 j 位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的方差； 五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解 51 问题一（试卷的随机分发）：问题一（试卷的随机分发）： 试卷随机分发过程需要随机的将试卷分发给各位评阅教师， 并且需要评阅教 师之间相互交换评阅但交换次数不能过多也不能过少 因此首先应该将试卷随机 分发给每一位评阅教师的初步方案，再去分析判断评阅教师之间的交换次数 为了得到随机分发试卷给评阅教师的多个初步方案，首先将 500 份试卷从 1500 编号然后将其打乱编号，再用 MATLAB 软
13、件自带的 randperm 函数产生 一个 1 至 500 的随机矩阵 x=randperm（500） ，用 reshape 函数对其进行重新排列 成 25 行 20 列的矩阵 y=reshape（x，25，20） 因为一份试卷需要三位评阅教师 进行批阅而矩阵 y 只是满足了一个教师批阅一份试卷， 因此需要三个矩阵来表示 评阅教师所批阅的试卷；所以对矩阵 y 进行列列交换的变化成两个新矩阵 y1 与 y2 将矩阵 y，y1，y2 合成 75 行 25 列的新矩阵 z，z=，其中 z 的每一列2, 1,yyy 元素即代表每一位老师所阅卷的编号， 而相应的行则代表与其相应评阅教师对试 卷所给的分数
14、 在得到多个初步方案后， 有可能出现某两位教师之间交叉次数特别多或者某 两位教师之间没有一次交叉次数， 对于这些不合理的初步方案应该将其去除留下 一些交叉次数不过多也不过少的方案因此用 MATLAB 软件自带的 intersect 函 数得到每两位评阅教师之间交叉次数， 先编写一个程序运行得到交叉次数的大致 范围，然后根据交叉次数的范围大致确定出交叉次数应该在什么范围之内，再编 写一个程序只是在原程序的基础上添加一个交叉次数的限制条件， 运行程序得到 一些交叉次数不过多也不过少的方案其算法框图如图（1-1）所示： 图（1-1） 在多次运行程序后得到多个任务单但是每一个任务单的均匀性不可能全部
15、相同，因此需要对每一个任务单的均匀性进行评价因为每份试卷需要 3 个不同 的老师批改 3 次，即交叉 3 次，所以 500 份试卷的总交叉次数的总数为 1500 次， 总共有 20 位教师，所以总共有组试卷交叉评阅比较组，假设任意两位190 2 20 C 教师交叉评阅一份试卷的份数为，则有z ，1500 19 1 k zk 解得， 8947 . 7 z 为了使任何两位教师的交叉共同评阅一份试卷的情况尽量均匀， 以交叉数的 方差作为评价任务单均匀性的指标，方差越小，交叉次数越稳定，即任务单的均 匀性越高用表示交叉数的方差，表示第 位教师与第位教师交叉评阅试卷份D ij zij 数得出方差的计算公
16、式如下： ， (其中，1，2，20；） 20 1 2 20 1 2 20 )( 1 j ij i zz C Dji,ji 最后用 MATLAB 软件对上述内容进行编程评价上一个程序得到的任务单； 其程序的算法框图如图（1-2）所示： 图（1-2） 运行程序得到三组随机数 （如附录所示） 并且得到与其相应的方差及交叉数， 通过利用模型判断出一个较好任务单任务单由于数据较多所以只给出了前四行 数据如下所示： 463 448 431 17 116 372 91 139 452 386 374 247 214 297 254 306 36 378 320 71 103 449 493 117 489 241 2392 390 171 252 84 115 269 332 324 352 439 136363 373 368 351 132 190 263 179 359 350 337 237 86 184 441 89 473 394 456 458177 438 389 228 25 77 99 421 360 349 442 357 472 60 446
