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1、第七章立 体 几 何 第一节空间几何体的结构及其 三视图和直观图,【知识梳理】 1.空间几何体的结构特征,相等,全等,公共点,平行于底面,相似,2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: 形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投 影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的 _和_是完全相同的; 名称:三视图包括_、_、_.,形状,大小,正视图,侧视图,俯视图,(2)三视图的画法: 在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成_. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_ 方、_方、_方观察几何体画出的轮廓线.,虚线,正前,正左,正上,3.空间几何体的直
2、观图 空间几何体的直观图常用_画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面: 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观 图时,把它们画成对应的x轴、y轴,两轴相交于点O,且 使xOy=_,已知图形中平行于x轴的线 段,在直观图中长度_,平行于y轴的线段,长度_.,斜二测,45(或135),不变,减半,(2)画几何体的高: 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的 z轴,也垂直于xOy平面,已知图形中平行于z轴的线段, 在直观图中仍平行于z轴且长度_.,不变,【考点自测】 1.(思考)给出下列说法 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. 有一个面
3、是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. 一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点最少的一个棱台有3条侧棱.,用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中,A=45. 正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. 其中正确的是() A.B.C.D.,【解析】选D.错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各 面都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相 平行.如图 ,该几何体并不是棱柱. 错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三 角形,但不能保证三角形具有公共顶点.,正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最
4、少的棱锥为三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱. 错误.A应为45或135. 错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的形状可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同.,2.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个 () A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对,【解析】选A.从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但大小不一样,可以判断是棱台.,3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(),【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,
5、则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视图不可能是C; 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为D.,4.如图所示的直观图,其表示的平面图形是() A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形,【解析】选D.因为BCy轴,故在原图中平行于y轴,而ACx轴,在原图中平行于x轴,故BCAC,故三角形的形状为直角三角形.故选D.,5.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示, 则其侧面积为. 【解析】由题意可知,该直三棱柱的底面边长为2,高为1, 故S侧面=321=6. 答案:6,6.(2014郑州模拟)利用斜二测画法得到的: 三角形
6、的直观图一定是三角形; 正方形的直观图一定是菱形; 等腰梯形的直观图可以是平行四边形; 菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是.,【解析】由斜二测画法的规则可知正确;错误,是一般的平行四边形;错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,也错误. 答案:1,考点1 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)给出下列命题: 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; 若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;,存在每个面都是直角三角形
7、的四面体; 棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是() A. B. C. D.,(2)给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确命题的序号是() A.B.C.D.,【解题视点】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判断. (2)根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断.,【规范解答】(1)选C.错误,因为棱柱的侧 面不一定是全等的平行四边形;错误,必须 用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台; 正确,根据面面垂直的判定
8、定理判断;正确,因为两个过相 对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;正确,如图 所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形; 正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是. (2)选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知,只有是正 确的,所以选D.,【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (2)利用反例对结构特征进行辨析,即要说明某个命题是错误的,只要举出一个反例即可.,直棱柱、正棱柱和正棱锥的有关概念 (1)直棱
9、柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. (2)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (3)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.,【变式训练】下列结论正确的是() A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连
10、线都是母线,【解析】选D.A错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥.,B错误.如图,若ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥. C错误.因为六棱锥的所有棱长都相等,所以底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.,【加固训练】 1.下面有四个命题: 各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; 三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥; 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥; 顶点在底面上的射影是底面多边形的内心,又是外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是() A.1B.2C.3D
11、.4,【解析】选A.命题显然不正确.正棱锥必须具备两点,一是:底面为正多边形,二是:顶点在底面内的射影是底面的中心;命题缺少第一个条件,命题缺少第二个条件.而命题可推出以上两个条件都具备.,2.若三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形,则三个侧面的面积相等是三棱锥P-ABC为正三棱锥的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选C.当三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形时,如果该三棱锥又是正三棱锥,则其三个侧面的面积一定相等,但当三个侧面的面积相等时,却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥.,3.给出下列三个命题: 夹在圆柱的两个平行截面间的
12、几何体还是一个旋转体; 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; 通过圆台侧面上一点,有无数条母线. 其中正确命题的序号是.,【解析】错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则结论是错误的,如图(1).正确,如图(2).错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线,如图(3). 答案:,考点2 空间几何体的三视图 【考情】三视图是高考命题的热点,以选择题、填空题的形式出现,主要考查已知几何体,判断三视图;已知几何体三视图中的两个视图,判断第三个视图;由三视图判断几何体等.,高频考点通关,【典例2】(1)(2014汕头模拟)如图是一正方体被过棱的中点M,N和
13、顶点A,D截去两个角后所得的几何体,则该几何体的正视图为(),(2)(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(),【解题视点】(1)结合正方体原形,找准M,N,截取几何体,然后作正视图. (2)结合三视图进行判断,特别要注意虚线的标注.,【规范解答】(1)选B.对于选项A,由于只是截去了两个角,此切割不可能使得正视图成为梯形.故A不对;对于B,正视图是正方形符合题意,线段AM从正面可以看到,故是一条实线段,相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线,由于从正面看不到,故应作成虚线,故选项B正确;对于C,正视图是正方形,符合题意,有两条实线存在于正面不符合实物图的
14、结构,故不对;对于D,正视图是正方形符合题意,其中的两条实线符合俯视图的特征,故D不对.,(2)选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致,并且俯视图是两个圆,可知只有选项D适合,故选D.,【通关锦囊】,【关注题型】,【特别提醒】对于简单组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.,【通关题组】 1.(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是() A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱 【解析】选D.圆柱的三视图,分别为矩形,矩形,圆,不可能三
15、个视图都一样,而球的三视图都是圆,三棱锥的三视图可以都是三角形,正方体的三视图可以都是正方形.,2.(2014汕尾模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图为(),【解析】选C.根据一个正方体截去两个角后所得几何体的 正视图、俯视图可得几何体的直观图为: 所以侧视图为:.,3.(2011浙江高考)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(),【解析】选B.,4.(2014长春模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD- A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最 短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可 以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图 可能
16、是(填上序号).,【解析】由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,共有6种展开方式,若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内,在矩形中连接AC1会经过BB1的中点,故此时的正视图为.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内,在矩形中连接AC1会经过CD的中点,此时正视图会是.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在中. 答案:,【加固训练】 1.(2014西安模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边 长为1的正方形,且体积为 则该几何体的俯视图可以是(),【解析】选C.若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体的体 积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B，则该几 何体的体积为 不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C， 则该几何体的体积为 满足题意；若该几何体的俯视图是选 项D，则该几何体的体积为 不满足题意,2.(2014兰州模拟)已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所
