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1、1（考黄金）2014 届高考数学一轮检测 第 5 讲 函数与方程函数模型及其应用精讲 精析 新人教 A 版2013 年考题1.（2013 福建高考）函数 的图象关于直线 对称。据此2()(0)fxabc2bxa可推测，对任意的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x.0 的方程的解集不可能是（ ）2()()0mfxnfA. B C D 1,1,41,2341,46【解析】选 D.本题用特例法解决简洁快速，对方程 中 分2()()0fxnfP,mnp别赋值求出 检验即得. ()fx2. （2013 福建高考）若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超fx42xg过 0.25， 则 可以是（ ）f
2、xA. B. C. D. 41f2(1)fx1xfe12fxIn【解析】选 A. 的零点为 x= , 的零点为 x=1, fx42()f的零点为 x=0, 的零点为 x= .现在我们来估算1xfe1fxIn3的零点，因为 g(0)= -1,g( )=1,所以 g(x)的零点 x (0, ),又函数42xg221的零点与 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有f42xg的零点适合。41x3. （2013 海南宁夏高考）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值,设f（x）=min , x+2,10-x (x 0),则 f（x）的最大值为（ ）2xA. 4 B. 5 C. 6 D.
3、7【解析】选 C.画出 y2x，yx2，y10x 的图象，如右图，观察图象可知，当 0x2 时，f（x）2x，当 2x3 时，f（x）x2，当2x4 时，f（x）10x，f（x）的最大值在 x4 时取得为 6，故选 C。4. （2013 湖南高考）设函数 ()yf在 ,)内有定义，对于给定的正数 K，定义函数(),.KfKfxx取函数 ()2xf。当=1时，函数 ()Kfx的单调递增区间为（ ）A (,0) B (0,) C (,) D (1,) 【解析】选 C.函数12(xxf，作图易知 2fx(,1,)x，故在 (,1)上是单调递增的. 5. （2013 江西高考）设函数 的定义域为，若所
4、有点2()(0)fxabxc构成一个正方形区域，则的值为（ ）(,),)sftDA B C D不能确定 248【解析】选 B.设 为 和轴的交点，则在 D 内由题意得 ，12,x()f 12max|()xf， ， 。24bacb|a46、（2013 重庆高考）已知以 为周期的函数 ，其中4T21,(,1()3xfx。若方程 恰有 5 个实数解，则的取值范围为（ ） 0m3()fxA B C D158(,)1,7)8(,)34(,7)3【解析】选 B.因为当 时，将函数化为方程 ，实质上为一个半(,x21(0)yxm椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当 得图像，再根据周期性作出函数(,3其
5、它部分的图像，由图易知直线 与第二个椭圆3xy3相交，而与第三个半椭圆 无公共点时，2(4)1(0)yxm2(8)1(0)yxm方程恰有 5 个实数解，将代入 得3y2()()yx令222(9171350,229(0)1850tttxt则由2 28)4(),5,3tttm得 由 且 得同样因为 与第三个椭圆 无公共点，由 可计算得3xy2(8)1(0)yx07m综上知15(,)37.（2013 山东高考）若函数 f(x)=a -x-a(a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 .x【解析】设函数 且 和函数 ,则函数 f(x)1(0,xya12yxa(01)且=a -x-a(a0
6、且 a1)有两个零点, 就是函数 且 与函数 有两x 1,2yx个交点,由图象可知当 时两函数只有一个交点,不符合,当 时,因为函数的图象过点(0,1), 而直线 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一(1)xyayxa定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 |1答案： |8. （2013 山东高考）已知定义在 R 上的奇函数 ，满足 ,且在区间)(xf(4)(fxfx0,2上是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间 上有四个不同的根 ,则8,1234,1234_.xx【解析】因为 是定义在 R 上的奇函数，且满足 ,所以()f (4)(fxfx。所以函数图象关于直线 对称且 ,由 知
7、()fxx204)(fx4,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 在区间0,2上是增函数,所(8)(fxf )(xf以 在区间-2,0上也是增函数.如图所示, 那么方程 f(x)=m(m0)在区间 上有四个不同的根 ,不妨设8,1234,x由对称性知 ， 所以1234xx12x34答案：-89. （2013 上海高考）已知对于任意实数，函数 满足 . 若方程)(xf )(xff有 2013 个实数解，则这 2013 个实数解之和为 .0)(xf【解析】由奇函数的性质得 f(0)=0,其余 2012 个实数解互为相反数，则这 2013 个实数解之和为 0。答案：0.10.（2013 山东高
8、考）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数
9、；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。【解析】方法一（1）如图,由题意知 ACBC, ,2240BCx224(0)kyx其中当 时，y=0.065,所以 k=902xA BC x 5所以 y 表示成 x 的函数为 2249(0)yxx（2） , ,令 得2249042323818(0)()x0y,所以 ,即 ,当 时, 418()xx160x,即 所以函数为单调减函数,当 时, 2y462x,即 所以函数为单调增函数.所以当 时, 即当 C 点到4(0)xx1
10、0城 A 的距离为 时, 函数 有最小值.12249(0)yxx方法二（1）同上.（2）设 ,则 , ,所以22,40mxnx40mnyn当且仅当491911()3()(32)06yn即 时取”=”.24016m下面证明函数 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.940ym设 042402409 m1m2916016010所以 ,所以 即12224(0)()9m1212124(0) 0(4)m所以函数 在(160,400)上为增函数.12y40y所以当 m=160 即 时取”=”,函数 y 有最小值,所以弧 上存在一点，当1x时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B
11、的总影响度最小.40x11. （2013 上海高考）有时可用函数.15ln,(6)()4,axfx描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ ），*xN表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。()fx证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降；7(1)(fxf根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 ,512, 。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。(12(13【解析】（1）当0.47(1)(3)(xfxfx时 ，而当 ，函数 单调递增，且 0.3 分x时 34y)x7BCDAOP故 单调递减 (1)(fxf当 ，
12、掌握程度的增长量 总是下降.6 分7时 (1)(fxf（2）由题意可知 0.1+15ln =0.85.9 分 整理得6a 0.56ae解得 .13 分0.52.013.,20(1,71ea由此可知，该学科是乙学科.14 分 w.w.w.2012 年考题1.（2012 广东高考）某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10层、每层 2000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用 ）购
13、 地 总 费 用建 筑 总 面 积【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则216010856048564fxx,xZ, 令 得 2ffx5当 时， ；当 时，15x0fx10fx因此 当 时，f（x）取最小值 ；52f答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层。2.（2012 江苏高考）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A，B 及 CD的中点 P 处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与 A，B 等距的一点 O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为 yk
14、m（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设 （rad），将表示成 的函数；O（ii）设 （km），将表示成的函数； Px（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【解析】（1）（i）由条件知做 PQ 垂直平分 AB，交 AB 于点 Q，若BAO= (rad) ，则8, 故10cosAQO，又 OP ，Btan所以 ， 1010tancosyOAP所求函数关系式为2iny4（ii）若 OP= (km) ，则 OQ10，所以 OA =OB= 22100xx所求函数关系式为20yxx（2）选择函数模型（i）， 2 210cos1sin10sincscoiy A令 0 得 sin ，因为 ，所以 = ， 046当 时， ，是 的减函数；当 时， ，是 的增函数，,6y,
