高考概率与统计常见题型与解法[整理]

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1、高考概率与统计常见题型与解法 题型一几类基本概型之间的综合 在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起 进行考查， 主要考查综合计算方法和能力. 此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交 织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中 所涉及的事件进行分解， 明确所求问题所包含的所属的事件类型. 特别是要注意挖掘题目中 的隐含条件 . 1、等可能事件的概率 在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包 含的结果有 m 个，那么 P （A）= n m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计

2、算公式。 高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能 力。 例题 1（2010 湖南） 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C 的相关人 员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人） ( ) 求 x,y ; （）若从高校B、C抽取的人中选 2 人作专题发言，求这二人都来自高校 C的概率。 解 ( ) 由题意可得 2 183654 xy 所以1,3xy， （）记从高校 B中抽取的 2 人为 12 ,b b，从高校 C中抽取的 3 人为 123 ,CCC则从高校 B、C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 （ 12 ,

3、b b） ， （ 11 ,b c） ， （ 12 ,b c） ， （ 23 ,bc） ， （ 21 ,bc） ， （ 22 ,bc） ， （ 23 ,bc） ，12(,)C C，13(,)C C，23(,)CC共 10 种，设选中的 2 人都来自高校 C的事 件为 X，则 X包含的基本事件有 12 (,)C C， 13 (,)C C，23(,)CC共 3 种，因此 3 () 10 p X故选中 的 2 人都来自高校 C的概率为 3 10 变式 1（2010 江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80% ，二等品率为 20% ；乙产品的一等品率为90% ，二等品率为 10% 。生产

4、1 件甲产品，若是一等品则获得利 润 4 万元，若是二等品则亏损1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润6 万元， 若是二等品则亏损2 万元。设生产各种产品相互独立。 （）记 X（单位：万元）为生产1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； （）求生产 4 件甲产品所获得的 利润不少于 10 万元的概率。 解： （1）由题设知， X的可能取值为 10，5，2，-3，且 P（X=10）=， P（X=5）=， P（X=2）= ，P（X=-3）=。由此得 X的分布列为： X1052-3 P （2）设生产的 4 件甲产品中一等品有n件，则二等品有 4n件。 由题设知4(4)1

5、0nn，解得 14 5 n， 又 nN ，得3n，或4n。 所求概率为 334 4 0.80.20.80.8192PC 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率为。 变式 2 （2010 福建）设平面向量 a m =（m ，1） ，b n =（2，n） ，其中 m ，n1,2,3,4.（I ） 请列出有序数组（ m ，n）的所有可能结果；（II ）记“使得 a m （a mb n） 成立的（ m ，n）”为事件 A，求事件 A发生的概率 . 解： ( ) 有序数组（ m,n）的吧所有可能结果为： （1,1 ） ， （1,2 ） ， （1,3 ） ， （1,4 ） ， （2,1

6、） ， （2,2 ） ， （2,3 ） ， （2,4 ） ， （3,1 ） ， （3,2 ） ， （3,3 ） ， （3,4 ） ， （4,1 ） ， （4,2 ） ， （4,3 ） ， （4,4 ）共 16 个. ( ) 由() mmn aab得 2 21mmno，即 2 (1)nm. 由于,m n1,2,3,4 ，故事件A 包含的基本条件为（2,1）和（ 3,4 ） ，共 2 个. 又基本事件的总数为16，故所求的概率 21 () 168 P A. 2、互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概

7、 率的加法公式)()()(BPAPBAP计算。事件 A（或 B）是否发生对事件B（或 A）发生 的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为BA。用概率的法公 式BPAPBAP计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别 及其概率的综合计算能力进行考查。 必有一个发生的两个互斥事件A、 B叫做互为对立事件。 即AB或BA。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解. 用概率的减法公式 _ 1APAP计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别 及其概率 计算进行考查。 例题 1（2005 全国卷） 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有

8、影响。已知在 某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照 顾的概率为， （）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 解： （）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C ， 1 分 则 A、B、C相互独立，由题意得： P（AB ）=P（A）P（B）= P（AC ）=P（A）P（C）= P（BC ）=P（B）P（C）=4 分 解得： P（A）=；P（B）=；P（C）= 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是、 6 分 （） A、B、C相互独立， A B C、 相

9、互独立， 7 分 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 ()()( )()0.80.750.50.3P A B CP A P B P C 10 分 这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7pP A B C12 分 变式 1 （2005 福建卷文） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 解： （）依题意，记“甲投一次命中”为事件A， “乙投一次命中”为事件B，则 甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.

10、 2 1 （）事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为. 100 91 “甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为BABA 变式 2 （06 四川卷） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格” 与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考 核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核 是否合格相互之间没有影响 （）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的

11、概率； （）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 解：记“甲理论考核合格”为事件 1A； “乙理论考核合格”为事件2A； “丙理论考核合 格”为事件 3 A；记 i A 为 i A的对立事件，1,2,3i；记“甲实验考核合格” 为事件 1 B； “乙 实验考核合格”为事件 2 B； “丙实验考核合格”为事件 3 B； （）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记 C 为C 的对立事件 解法 1： 123123123123 P CP A A AA A AA A AA A A 解法 2：1P CP C 123123123123 1P A A AA A AA A AA A A 所

12、以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （）记“三人该课程考核都合格”为事件 D 所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 3、独立重复试验概率 若在 n次重复试验中， 每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做 n 次独立重复试验。若在1 次试验中事件A 发生的概率为 P，则在 n次独立惩处试验中，事 件 A恰好发生k次的概率为1 nk kk nn PkC PP。 高考结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和 化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 例题（ 2005 湖北卷） 某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，

13、且型号相同. 假定 每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1 年以上的概率为p1，寿 命为 2 年以上的概率为p2. 从使用之日起每满1 年进行一次灯泡更换工作， 只更换已坏的灯 泡，平时不换 . （）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2 只灯泡的概率； （）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概 率； （）当 p1=，p2=时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4 只灯泡的概率（结果 保留两个有效数字） . 解： （I ）在第一次更换灯泡工作中， 不需要换灯泡的概率为, 5 1 p需要更换 2只灯泡的概率为 （II ）对该盏

14、灯来说，在第1、2 次都更换了灯泡的概率为（ 1-p1） 2；在第一次未更换 灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为 （III ）至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况，换5 只的概率为 p 5（其中 p 为（II ）中所求，下同）换4 只的概率为 41 5p C （1-p） ，故至少换 4 只灯泡的概率为 变式 1 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设 工程三类 . 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 2 , 1 3 , 1 6 . 现有3名工人独立地从 中任选一个项目参与建设. 求：() 他们选择的项

15、目所属类别互不相同的概率；( ) 至少 有1人选择的项目属于民生工程的概率. 解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i A， i B， i C，1i ， 2，3由题意知 1 A， 2 A， 3 A相互独立， 1 B， 2 B， 3 B相互独立， 1 C， 2 C， 3 C相互独立， i A， j B， k C（i，j，k1，2，3， 且i，j，k互不相同）相互独立，且 1 ( ) 2 i PA， 1 () 3 i PB， 1 () 6 i P C （）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P 123123 3!()6()()()PAB CPAPBP C （）

16、至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 3 119 1(1) 327 变式 2 (08天津） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 2 1 与 p ，且乙投球 2 次 均未命中的概率为 16 1 （）求乙投球的命中率p ； （）求甲投球2 次，至少命中 1 次的概率； （）若甲、乙两人各投球2 次，求两人共命中2 次的概率 解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概 率知识解决实际问题的能力满分12 分 （）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A， “乙投球一次命中”为事件B 由题意得 16 1 11 22 pBP 解得 4 3 p或 4 5 （舍去） ，所以乙投球的命中率为 4 3 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A， “乙投球一次命中”为事件B 由题意得 1 () () 16 P B P B，于是 1 ( ) 4 P B或 1 ( ) 4 P B（舍去） ，故 3 1() 4 pP B 所以乙投球的命中率为 3 4 （）解法一：由题设和（）知 2 1 , 2 1 APAP 故