1151编号人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

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1、 二次函数二次函数 一、二次函数概念：一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 2 yaxbxcabc，0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的0a bc， 定义域是全体实数 2. 二次函数的结构特征： 2 yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc 二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质： 2 yax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc 的性质： 上加下减。 3.

2、2 ya xh 的性质： 左加右减。 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00，轴y 时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x y 随的增大而减小；时，有最小值x0 x y0 0a 向下 00，轴y 时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x y 随的增大而增大；时，有最大值x0 x y0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c，轴y 时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x y 随的增大而减小；时，有最小值x0 x yc 0a 向下 0c，轴y 时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x y 随的增大而增大；时，有最大值x0 x yc 的符号a开口方向顶点坐标对

3、称轴性质 0a 向上 0h， X=h 时，随的增大而增大；时，xhyxxhy 4. 的性质： 2 ya xhk 三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 2 ya xhkhk， 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2 yaxhk， 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk 概括成八个字“左加右减，上加下减” 四、二次函数与的比较四、二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 2 ya xhk 2 ya

4、xbxc 到前者，即，其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa ， 六、二次函数的性质六、二次函数的性质 2 yaxbxc 随的增大而减小；时，有最小值xxhy0 0a 向下 0h， X=h 时，随的增大而减小；时，xhyxxhy 随的增大而增大；时，有最大值xxhy0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk， X=h 时，随的增大而增大；时，xhyxxhy 随的增大而减小；时，有最小值xxhyk 0a 向下 hk， X=h 时，随的增大而减小；时，xhyxxhy 随的增大而增大；时，有最大值xxhyk 1. 当时，抛物线开口向上，对称

5、轴为，顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 当时，随的增大而减小； 2 b x a yx 当时，随的增大而增大； 2 b x a yx 当时，有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 2 b x a 随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值yx 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，为常数，） ； 2 yaxbxcabc0a 2.

6、顶点式：（，为常数，） ； 2 ()ya xhkahk0a 3. 两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 12 ()()ya xxxx0a 1 x 2 xx 注意 ： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数x 2 40bac 解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越

7、小，反之的值越大，开口越大0a aa 2. 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 （同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴）ab 3. 常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 十、二次函数与一元二次方程：十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情

8、况. 2 0axbxc 2 yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：x 当时， 图象与轴交于两点， 其中的是一元二 2 40bac x 12 00A xB x， ， 12 ()xx 12 xx， 次方程的两根. 2 00axbxca 当时，图象与轴只有一个交点； 0 x 当时，图象与轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当 时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 2 yaxbxcy(0)c 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一、选择题一、选择题 1. 二次函数的顶点坐标是(

9、 ) 2 47yxx A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3） 2. 把抛物线向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ） 2 2yx A. B. C. D. 2 2(1)yx 2 2(1)yx 2 21yx 2 21yx 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 2 ykxk(0) k yk x 4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当 2 (0)yaxbxc a 和时,函数值相等;当时, 的值只能取 0.其中正确1x 3x 40ab2y x 的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.已知二次函数的顶点坐标

10、 （-1， -3.2） 及部分图象(如图),由 2 (0)yaxbxc a 图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（x 2 0axbxc 12 1.3xx和 ） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ） 2 yaxbxc(,)ac bc A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程的正根的个数为（ ） 2 2 2xx x A.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为y A. B. 2 2yxx 2 2yxx C. 或 D. 或

11、2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 二、填空题二、填空题 9二次函数的对称轴是，则_。 2 3yxbx2x b 10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_. 11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当0 时，函数值随自变量的增大而增xyx 大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可） 。 12抛物线的顶点为 C，已知直线过点 C，则这条直线与两坐标轴所围 2 2(2)6yx3ykx 成的三角形面积为 。 13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个 2 241yxx 2 2yxbxc

12、 单位得到的,则 b= ,c= 。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的 地方，桥的高度是 (取 3.14). 三、解答题：三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).30 xy 5 2 (1)求这个二次函数的解析式; (2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0? (3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值随 x 的增大而增大?y 第 15 题图 16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 （0t2） ，其中 2 0 1 2 hv

13、tgt 重力加速度 g 以 10 米/秒 2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？ （2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交 2 yxbxc3yx 点 A、B，此抛物线与轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.x （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4 的点 P APC S ACD S 的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售

14、出后再 进行结算，未售出的由厂家负责处理） 当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨该建材店为提高经 营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现 ： 当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会 增加 7. 5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料 售价为 x（元） ，该经销店的月利润为 y（元） （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量； （2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对

15、吗？请说明理由 二次函数应用题训练二次函数应用题训练 1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（分）之 间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0 x30). （1） 当 x 在什么范围内时， 学生的接受能力逐步增强？当 x 在什么范围内时， 学生的接受能力逐步减弱？ （2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？ 2、如图,已知ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC 上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少? FEB GD C A 3、 如图,ABC中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同 时出发,问经过几秒钟PBQ 的面积最大?最大面积是多少? B Q C P A 4、如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行 的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的 距离为 3.05 米