《(秋)《线性代数A》期末试题B卷及参考解答[整理]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(秋)《线性代数A》期末试题B卷及参考解答[整理]（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 秋线性代数 A期末试题 B卷及参考解答 一、填空题 : ( 每小题 3分, 共15分) 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 1, 四阶行列式 解: 4!=-24 2, 若 (1, 2, 3), 1, 1 2 , 13, A T , 则 An 1 2 1 1 3 2 3 解: 3n 1 2 1 3 3 1 2 3, 若向量组, ,线性相关 , 则向量组, , 线性 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 解: 因为0 1 1 , 又0 1 1 2 0, 因此矩阵0 1 1 可逆 , 从而 1 1
2、0 1 3 3 2 2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 01 2 , 0 1 1 2 2 1 3 1 0 1 3 3 即 1, 2, 3与1 2, 2 3, 3 1等价故1 2, 2 3, 3 1线性相关 4, 设n阶方阵A的各行元素之和均为零, 且R(A) n 1, 则线性方程组Ax 0的通解为 解: 令 1 1 x # 1 显然x满足方程组 , 又因为R(A) n 1, 因此n R(A) 1, 即方程组的基础解系中有一个向量, 通解 为 1 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 1 1 x k k(1,1, ,1) T , k 为任意常数 # 1 5,
3、 二次型f (x1 , x 2 , x 3) x1 解: 2 2 2x1x2 2x2 2 2x1x3 2x2x3 x3 2 的秩是 二、单项选择题 : ( 每小题 3分, 共15分) 1, 设A, B是n阶方阵 , 下列结论正确的是 ( A) 若A, B均可逆 , 则A B可逆 ; ( B) 若A, B均可逆 , 则AB可逆 ; ( D) 若A B可逆 , 则 A, B均可逆 ( C) 若A B可逆 , 则A B可逆 ; 解: ( B) 2, 设向量组 I:1,2, ,r可由向量组 :1,2,s线性表示 , 则 ( A) 当r s时, 向量组 II 必线性相关 ; ( C) 当r s时, 向量
4、组 I 必线性相关 ; 解: ( D) ( B) 当r s时, 向量组 II 必线性相关 ; ( D) 当r s时, 向量组 I 必线性相关 3, 已知1, 2是Ax b的两个不同的解, 1,2是相应的齐次方程组Ax 0的基础解系 , k1 , k 2为 任意常数 , 则Ax b的通解是 ; ( B) k1k2() ( D) k1k2() ( A) k1 ) k2( ; ( C) k1 ) k2( ; 解: ( B) 4, 已知a 1, b 2, a, b1 , 则向量a与b的夹角为 ( A) 0; ( B) ; ( C) ; ( D) 4 3 2 解: ( C) 5, 设P 为可逆矩阵 ,
5、Ax x 0, B P 1 1P, 则矩阵B的特征值和特征向量分别是 ( C) 1和 P 1x; ( D) 和Px A ( A) 和x; ( B) 1和 x; 解: ( C) 1a1 1 # 1 1a2 # 1 1 # 三、 ( 本题 10分 ) 计算下列行列式Dn , ( a1a2 a n 0) 1 1 1an 解: 将第 2行、第3行、 第n行都减去第 1行, 得到 2 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 1 1 1 1 1 1a1 a1 Dn a1 # # # % a1 1 1 0 1 0 a1 a2 a3 an a2 1 1 0 0 n 0 a3 0 a i
6、 1 0 1 0 0 1 i 1 0 # # # % 0 an 0 1 0 0 n 1 1 1 1 1 ai a2 a3 an i1 0 n 0 0 # 1 0 n n 1 a i a i 1 0 # # % 1 0 0 1 ai i1 i1 i1 0 0 0 四、 ( 本题 10 分) 设A为n阶可逆矩阵 , 且每一行元素之和都等于常数a(a 0), 证明A的逆矩阵 的每一行元素之和为a 1 证明 : 由题意有 1a 1a 1 1 A a , # # # 1 a 1 因此 , 11 1 1A 1 1 , # # a 1 1 上式说明结论成立 五、 ( 本题 10分 ) 已知a1, a2, ,
7、 ar线性无关 , 且b1 a1, b2 a1 a2, , br a1 a2 ar, 证明 : b1, b2, , br线性无关 1 0 b 0 a 1 0 0 1 1 0 b 1 1 0 a 1 1 , 证明 : 因为 2 2 可逆 , 即 # # # % # # # # % # 1 1 b 11 1 1 a r r 1 1 0 a 0b 1 1 a 1 1 0 b 2 2 # # # % # # 1 1 1 a b r r 3 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 从而a1, a2, ar与b1, b2, , br等价 , 于是得a1, a2, , ar线性无关
8、六、 ( 本题 10 分) 向量组1,2,s 的秩为r1 , 向量组, , t 的秩为r2 , 向量组 1,2, ,s, , t的秩为r3, 证明maxr1 , r 2 r3 r1 r2 证 明 : 因 为 1, s 可 由1, s, 1, t 线 性 表 示 , 又 1, , t 也 可 由 1, , s, 1, t线性表示 , 因此得r1 r3且r2 r3, 即maxr1, r2r3 设 1, , s的最大无关组为n , n , , n , 1, t的最大无关组为m , m , , m , 1 2 r1 1 2 r2 则1, , s, 1, , t可由n , n , n , m , m ,
9、 , m 线性表示 , 因此r3 r1 r2 1 2 r1 1 2 r2 七、 ( 本题 10分 ) 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知 1,2,3是它的三个解向量 , 且 21 3 2 1 , 2 3 , 43 54 求该方程组的通解 解: n 4, r R(A) 3, 因此n r 1, 令 4 13 6 2 4 1 21 (1 2) , 8 35 10 4 6 则 1为基础解系 , 故方程组的通解为 32 4 3 x k1 1 k , 54 65 其中k可取任意常数 八、 ( 本题 10分 ) 设三阶实对称矩阵A的秩为2, 1 2 6是A的二重特征值若1 (1,1,0)T,
10、2 (2,1,1)T, 3 ( 1,2, 3) T , 都是A的属于特征值6的特征向量 , 求A的另一特征值和对应的特征 向量 解: 因为 1 2 6是A的二重特征值, 故A的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个由题 4 资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 设知 1 (1,1,0) T, 2 (2,1,1) T 为A的属于特征值6的线性无关特征向量 又A 的秩为 2, 于 是| A |0 , 因此A 的另一特征值 3 0设 3 0所对应的特征向量为 (x1,x2, x3) T T , 则有 1 0, 2 T 0, 即 x1 x2 0, 2x 1 x2 x3
11、 0. 解得基础解系为( 1,1,1) , 故A的属于特征值 3 0全部特征向量为kk( 1,1,1) T T , 其中k为任 意不为零的常数 九、 ( 本题 10分 ) 判断R2 2的下列子集是否构成子空间, 说明理由 (1) W1 1 a 0 a, b, c R; 0 b c (2) W1 a b 0 a b c 0, a, b, c R 0 c 0 解: (1)不构成由于 A B 1 0 0 W1 但AB 2 0 0W1, 0 0 0 0 0 0 即W1对矩阵加法不封闭 (2) 构成任取 a1 b1 0a2 b2 0 A 0 c W2, B W2, 0 0 c2 0 1 有 a1 b1 c1 0,a2 b2 c2 0, a1 a2 b1 b2 0 AB 1 0 c c2 0 于是 a1 a2 b1 b2 c1 c2 0, AB a1 a2 b1 b2 0 W2 1 0 c c2 0 ka1 kb1 0 对任意k R, kA , ka1 kb1 kc1 0, 因此kA W2 0 kc1 0 5
