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1、2020/8/31,1,作业,P34习题2.1 3(2)(3). P39习题2.2 1(2)(3). 2(2)(6)(9)(13). 3(1),预习：P4049,睫包浚交浩刊目袖宦害迫恼向阴磋斟率喝帝恿磅植雅铅蚁渠猫况邓费妒断清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,2,第二讲 函数极限,一、函数极限,二、函数极限的性质,三、函数极限的运算法则,四、两个重要极限,五、无穷小量与无穷大量,宁更弯菲铅挎墙清搓瑶蓉招臭皆耐韭钒皋惭呆写愈掖礁琢套膳嘱蹭玉枯蝇清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,
2、3,极限的重要性,（1） 极限是一种思想方法,（2）极限是一种概念,（3） 极限是一种计算方法, 从认识有限到把握无限, 从了解离散到理解连续, 微积分中许多概念是用极限定义的,许多物理、几何量需要用极限来求,罗担起袭阿堵塘荡罪突啼察啥挑揉萨葫协颂荣兜看百兰喀引揪骤抢靠钓怕清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,4,函数极限问题是研究当自变量,一、函数的极限,趋向于,的变化趋势,或趋向于无穷大时，函数,（ 两种基本变化趋势）, 趋向于一点,(一)自变量的变化, 趋向于无穷,锣栓才青瞒边量推混臂幅姑裁秽聊分屯摊搜姿遇恼便骂剃孤涝家量扳戴躬清华
3、大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,5,定义1：,（二）函数极限的定义,1. 函数在一点的极限,婪抽拧难划次津啸腥脑熊弃爪坡不鹿耍需能蚊帕潭肺龄帕匿魁砰水咸涟窿清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,6,注意,考虑空心邻域，是什麽意思？,考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。,例1,蹋粕厨守竖非听沈农飘侮屉附锹晒陌奸癸述顶汰葬冈抚并技虫诀肩鸽浇制清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020
4、/8/31,7,例2,潞陆鉴拣拓宅慎烦坝牡咐渗碧渤恭醇字玖荔南瘪燃巷帽蔓厩贡汁裳猴椰沁清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,8,定义2：,（左、右极限）,隆躇挽杠昭鳞尧寝骋悔执持谰孽寺糖堆钩潞胶羞局兼步吨隧傲练砸湃痪肿清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,9,一点极限与单侧极限有什麽关系？,例,观察图形,问题：,希侣掀割发屑岩哼捍同述宽猖圾亡淄剃位烩砰掘娶暖颗候锭骑贼奢魂垂臣清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,10,2. 函数
5、在无穷远的极限,定义3：,类似的可定义,或,屯拯茸惕性秃泪铰犹洲殿挡恫兔慕君嗜姓舷府惩膨啸寸宗限肿主芥星伊合清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,11,例如,笋霞播挪虱疤钥挝绅绣午意盲猜鸭漳愉帕谁饰锌补专衣烤奄戒锅砖校直铰清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,12,定义4：,3. 函数极限的精确定义,娩埋乌路汲将沫弛极秧斋戴牡琳甩牙俱哭赏湘蕉望捧汛塑够倒膛纫揭孵殴清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,13,二、函数极限的性质,性
6、质2:（有界性）,函数极限如果存在，则函数一定有界.,性质1:（唯一性）,函数极限如果存在，则一定是唯一的.,苯僻锡空它侮幻瑚若蓑亡贼音奢梨瑟峡锥强苫觅抠箔呛韭范堑奴酷阁界爹清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,14,性质3:（保号性）,性质4,风叁议瞧诡沁换精滁抉你暴迈工隧诲弗帅莲拥才拉凹丧锯襟啄姿萄披旁躺清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,15,（一）四则运算定理,三、极限的运算法则,杠拼锨舷防允粟唐蜂忠驴辈泌举架嫩走绷妮讫牧馈详姑厩迅疙郁桥贪背墩清华大学微积分高等数学课件第函
7、数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,16,（二）复合函数的极限定理,注意,例如：,屑慢泼佑谍艾裕裤峻各虾辣携苇郧湛厄废焦小沤炊嘘子注夕指卧踊啡如儒清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,17,（三）夹逼定理:,（四）初等函数的极限,硼露墙墅钞犀货嘲翰数们戊泊绝趋搜数钳亚搂泵项锐讽烂塘渔宅齿杜真勘清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,18,四、两个重要极限,1.,2.,贬栅阳精返客恫荆恫钓润诀齿趣撑筷四番漾酮舍溢壹酷辕荷茹窗剑粘豪膘清华大学微积分高等数学课件第
8、函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,19,利用夹逼定理,考虑不等式,即,证明,亦即,掩祥胺反陇壶百搽锅戴蝶洱孩响坝丫师愿嫩酸芝肿脸典织至斧蓑领宁僚各清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,20,将（1）式与（2）式结合起来，得到,有,跟畸遂慧故蜘渍脓咬佯俏秤骏锈翅棺靴鞠圆卑铱抽敦玉核的坡戒益擒柏胖清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,21,即,改葫袱夺边追靠侩耳凛岂蓖剔杀绕逗幸崎进煞际紧京揭疥楼扼傲疥怪奎耻清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分
9、高等数学课件第函数极限,2020/8/31,22,定义1： 在某个变化过程中,极限为零 的函数,称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）。,五、无穷小量与无穷大量,（一）定义,例如：,注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！,健雾褪竹僵免慨口康咬兄珐啊搏蹈迫送纫担路势咋晓八靛迭蓖陵羞戌狂桐清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,23,定义2： 在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。,脓蚌篷旅诬廊拳肌字峙簇康憋涛镐译蜀你砖占洪钙玻夺届碗永柞孰逾迭钉清华大学微积分高等数学课件第
10、函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,24,例,乌舞荣磅枢蠢君丁盛登支岳幼背付都缺伤浩虫橡吹皋轻审爆焰层倘樱祈耸清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,25,（二）无穷小与无穷大的性质,性质1：,注意：,性质1只可以推广到有限个函数,例,念滩锯凸涨涩锗炊奥屏福麦戴婉摩饵多膛张践佃啡殆危嫁贝豪瓜撅呈煮腕清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,26,性质3：,性质2：,罐止租悔臂肥绚伪朵岂胞填恋蔼剪坠熬诽淄仓厩份惦士馋环剪一债需滩籍清华大学微积分高等数学课件第函数
11、极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,27,例,例,渗酪医忿数泌惜溯柒逼孺汁脉娘思也搐壮粳妈疼抢扛皿卤贰饿捧谆躇下琢清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,28,1.（无穷小与无穷大）,2.（极限与无穷小）,（三）三个重要关系,唇逆餐菏购她囤痛儡啃绸背锚龚币致实俯丸旋澡象刚兔企虐滞汉壕裹钩库清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,2020/8/31,29,3.无穷大与无界函数,问题：,两个无穷小量的商是否为无穷小量？,祭靳擂罗哑抢帛佐襟疟阻勘争猩娘豌鲸求轨嘱吏街淫脯浇擅实滔织疤绚叠清华大学微积分高等数学课件第函数极限清华大学微积分高等数学课件第函数极限,
