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1、高中数学必修 2 知识点总结 第一章第一章 空间几何体空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE AD 几何特征几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥）棱锥 定义定义：有一个面是多
2、边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示表示：用各顶点字母，如五棱台 EDCBAP 几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱
3、：定义）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半
4、圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （3）直观图：斜二测画法 （4）斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行
5、于坐标轴； （2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 （5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，为底面周长，h 为高，为斜高，为高，为斜高，l 为母线）为母线） h chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧
6、面积 lRrS)( 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRRh 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：）球体的表面积和体积公式：V = ； S= 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 （1）平面）平面
7、 平面的概念：平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：平面的表示：通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一 个锐角内） ； 也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系：点与平面的关系：点 A 在平面内，记作；点不在平面内，记作AAA 点与直线的关系：点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作：Al； 点 A 在直线 l 外，记作 Al； 直线与平面的关系直线与平面的关系：直线 l 在平面内，记作 l；直线 l 不在平面内，记作 l。 （2）公理）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 （即直线在平面内
8、，或者平面经过直线） 应用：应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1：,Al Bl ABl （3）公理）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 DC BA 推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理公理 2 及其推论作用：及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 （4）公理）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：符号：平面和相交，交线是 a，记作a。 符号语言：符号语言：,PABABl Pl 公理公理 3 的作
9、用：的作用： 它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间
10、两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直 线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线
11、在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 共面直线 =ac 2 符号表示： A b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线
12、与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a B ab = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出
13、直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L，直 线 L 叫做平面的垂线， 平面叫做直线 L 的垂面。 如图， 直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L P 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； 直线与直线的位置关系 b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线
14、垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图本章知识结构框图 第三章第三章 直线与方程
15、直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定= 0. 2、 倾斜角的取值范围： 0180. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等， 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与平面的位置关
