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1、数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1 1. 等差数列的定义与性质 定义: 1nn aad (d为常数), 1 1 n aand 等差中项:xAy, ,成等差数列2Axy 前n项和 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质: n a是等差数列 (1)若mnpq,则 mnpq aaaa; (2) 数列仍为等差数列, 232nnnnn SSSSS, 仍为等差数列, 公差为; 12212 , nnn aaadn2 (3)若三个成等差数列,可设为adaad, , (4)若 nn ab,是等差数列,且前n项和分别为 nn ST,则 21 21 mm mm aS bT (5)
2、n a为等差数列 2 n Sanbn(ab,为常数,是关于n的常数项为 0 的二次函数) n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn的最值;或者求出 n a中的正、负分界项, 即:当 1 00ad,解不等式组 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最大值时的n值. 当 1 00ad,由 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最小值时的n值. (6)项数为偶数的等差数列 n a ,有 n2 ),)()()( 11122212 为中间两项 nnnnnnn aaaanaanaanS ,.ndSS 奇偶 1 n n a a S S 偶 奇 (7)项数为奇数的等差数列 n a ,有 12
3、n ,)() 12( 12 为中间项 nnn aanS ,. n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 2 2. 等比数列的定义与性质 定义: 1n n a q a (q为常数,0q ), 1 1 n n aa q . 等比中项:xGy、 、成等比数列 2 Gxy,或Gxy . 前n项和: 1 1 (1) 1 (1) 1 n n na q Saq q q (要注意!) 性质: n a是等比数列 (1)若mnpq,则 mnpq aaaa (2) 232nnnnn SSSSS, 仍为等比数列,公比为. n q 注意注意:由 n S求 n a时应
4、注意什么? 1n 时, 11 aS; 2n 时, 1nnn aSS . 3求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法 如:数列 n a, 12 2 111 25 222 n n aaan ,求 n a (2)叠乘法 如:数列 n a中, 1 1 3 1 n n an a an ,求 n a (3)等差型递推公式 由 110 ( ) nn aaf naa ,求 n a,用迭加法 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 3 练习数列 n a中, 1 11 132 n nn aaan ,求 n a ( 1 31 2 n n a ) (4)等比型递推公式 1nn acad (cd、为常数,
5、010ccd,) 可转化为等比数列,设 11 1 nnnn axc axacacx 令(1)cxd, 1 d x c , 1 n d a c 是首项为 1 1 d ac c ,为公比的等比数列 1 1 11 n n dd aac cc , 1 1 11 n n dd aac cc (5)倒数法 如: 11 2 1 2 n n n a aa a ,求 n a 附: 公 式 法 、 利 用、 累 加 法 、 累 乘 法 .构 造 等 差 或 等 比或 1( 2) 1( 1) nn SSn S n n a 1nn apaq 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 1 ( ) nn ap
6、af n ) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: n a是公差为d的等差数列,求 1 1 1 n k kk a a (2)错位相减法 若 n a为等差数列, n b为等比数列,求数列 nn a b(差比数列)前n项和,可由 nn SqS,求 n S, 其中q为 n b的公比. 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 4 如: 231 1234 n n Sxxxnx 2341 2341 nn n x Sxxxxnxnx 21 11 nn n x Sxxxnx 1x 时, 2 1 1 1 n n n x n
7、x S x x ,1x 时, 1 123 2 n n n Sn (3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加. 121 121 nnn nnn Saaaa Saaaa 相加 1211 2 nnnn Saaaaaa 练习已知 2 2 ( ) 1 x f x x ,则 111 (1)(2)(3)(4) 234 fffffff (附: a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列an,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个 和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果, 更要索其因,知识的得出过程是知识
8、的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前 n 项和 公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列,求前 n 项和 Sn可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用 公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项, 使得前后项相抵消, 留下有限项, 从而求出数列的前 n 项和。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法, 应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列anbn 中,a
9、n成等差数列,bn成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求 出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列an满足 an+1=an+f(n),其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个 式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出 an ,从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 5 分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基 本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。