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1、数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1 1. 等差数列的定义与性质 定义： 1nn aad （d为常数）， 1 1 n aand 等差中项：xAy， ，成等差数列2Axy 前n项和 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质： n a是等差数列 （1）若mnpq，则 mnpq aaaa； （2） 数列仍为等差数列， 232nnnnn SSSSS， 仍为等差数列， 公差为； 12212 , nnn aaadn2 （3）若三个成等差数列，可设为adaad， ， （4）若 nn ab，是等差数列，且前n项和分别为 nn ST，则 21 21 mm mm aS bT （5）
2、n a为等差数列 2 n Sanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数） n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn的最值；或者求出 n a中的正、负分界项， 即：当 1 00ad，解不等式组 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最大值时的n值. 当 1 00ad，由 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最小值时的n值. (6)项数为偶数的等差数列 n a ，有 n2 ),)()()( 11122212 为中间两项 nnnnnnn aaaanaanaanS ，.ndSS 奇偶 1 n n a a S S 偶 奇 （7）项数为奇数的等差数列 n a ，有 12
3、n ，)() 12( 12 为中间项 nnn aanS ，. n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 2 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1n n a q a （q为常数，0q ）， 1 1 n n aa q . 等比中项：xGy、 、成等比数列 2 Gxy，或Gxy . 前n项和： 1 1 (1) 1 (1) 1 n n na q Saq q q （要注意！） 性质： n a是等比数列 （1）若mnpq，则 mnpq aaaa （2） 232nnnnn SSSSS， 仍为等比数列,公比为. n q 注意注意：由 n S求 n a时应
4、注意什么？ 1n 时， 11 aS； 2n 时， 1nnn aSS . 3求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列 n a， 12 2 111 25 222 n n aaan ，求 n a （2）叠乘法 如：数列 n a中， 1 1 3 1 n n an a an ，求 n a （3）等差型递推公式 由 110 ( ) nn aaf naa ，求 n a，用迭加法 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 3 练习数列 n a中， 1 11 132 n nn aaan ，求 n a （ 1 31 2 n n a ） （4）等比型递推公式 1nn acad （cd、为常数，
5、010ccd，） 可转化为等比数列，设 11 1 nnnn axc axacacx 令(1)cxd， 1 d x c ， 1 n d a c 是首项为 1 1 d ac c ，为公比的等比数列 1 1 11 n n dd aac cc ， 1 1 11 n n dd aac cc （5）倒数法 如： 11 2 1 2 n n n a aa a ，求 n a 附： 公 式 法 、 利 用、 累 加 法 、 累 乘 法 .构 造 等 差 或 等 比或 1( 2) 1( 1) nn SSn S n n a 1nn apaq 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 1 ( ) nn ap
6、af n ) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： n a是公差为d的等差数列，求 1 1 1 n k kk a a （2）错位相减法 若 n a为等差数列， n b为等比数列，求数列 nn a b（差比数列）前n项和，可由 nn SqS，求 n S， 其中q为 n b的公比. 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 4 如： 231 1234 n n Sxxxnx 2341 2341 nn n x Sxxxxnxnx 21 11 nn n x Sxxxnx 1x 时， 2 1 1 1 n n n x n
7、x S x x ，1x 时， 1 123 2 n n n Sn （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121 121 nnn nnn Saaaa Saaaa 相加 1211 2 nnnn Saaaaaa 练习已知 2 2 ( ) 1 x f x x ，则 111 (1)(2)(3)(4) 234 fffffff (附： a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个 和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果， 更要索其因，知识的得出过程是知识
8、的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和 公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用 公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 使得前后项相抵消， 留下有限项， 从而求出数列的前 n 项和。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法， 应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列anbn 中，a
9、n成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求 出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列an满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个 式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 5 分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基 本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。
