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1、1 高中数学排列与组合高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解（一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 1 3 C 然后排首位共有 1 4 C 最后排其它位置共有 3 4 A 由分步计数原理得 113 434 288C C A 练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7
2、人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 522 522 480A A A 乙乙甲甲丁丁丙丙 练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种， 第二
3、步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有 5 5 A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种 4 6 A 54 56 A A 练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且 两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同
4、排法种数是： 73 73 /AA (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有种 4 7 A 4 7 A 方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 方法 练习题:10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10 C 五.重排问题求幂策略五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车
5、间也有7种分依此类推,由分步计数原理 共有种不同的排法 6 7 练习题： 1 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中， 那么不同插 法的种数为 42 C1 4 A3 4 C1 3 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理空模型处理 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可
6、以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不 同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为种 n m 2 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 7 六.环排问题线排策略六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解 ： 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（8- 4 4 A 1）！种排法即！ 7 HF D C A ABCDEA B E G HGF 练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略七.多排问题直排策略 例 7.
7、8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 2 4 A 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有种,则共有种 1 4 A 5 5 A 215 445 A A A 前 排后 排 练习题 ： 有两排座位， 前排 11 个座位， 后排 12 个座位， 现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐， 并且这 2 人不左右相邻， 那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个
8、不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有种 2 5 C 4 4 A 方法，根据分步计数原理装球的方法共有 24 54 C A 练习题 ： 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人 参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,在两个
9、奇数之间,这样的五位数有多少个？ 解：把,当作一个小集团与排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有 2 2 A 22 22 A A 种排法 . 15243 222 222 A A A 练习题： .计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且 水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 254 254 A A A 2. 5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种 255 255 A A A 十.元素相同问题隔板策略十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班
10、至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额 分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。 6 9 C 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 1 m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 3 一一 班班 二二 班班 三三 班班 四四 班班 五五 班班 六六 班班 七七 班班 练习题： 1
11、10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ 4 9 C 2 .求这个方程组的自然数解的组数 100 xyzw 3 103 C 十一.正难则反总体淘汰策略十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种？ 解 ： 这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有,只含有 1 个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。 再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种， 3 5 C 12 55 C C 12
12、3 555 C CC 符合条件的取法共有 123 555 9C CC 练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？ 解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三 222 642 C C C 步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,
13、AB,CD)共有 222 642 C C C 3 3 A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。 2223 6423 /C C CA 练习题： 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法？（） 5442 13842 /C C CA 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540） 3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数 为_ （） 2222 4262 /90C C
14、AA 十三. 合理分类与分步策略十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱 歌人员共有种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 22 33 C C 112 534 C C C 种，由分类计数原理共有 种。 22 55 C C 2211222 3353455 C CC C CC C 练习题： 1.
15、从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘 一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准： *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略十四.构造模型策略 将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每
16、份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个 空隙中，所有分法数为 1 1 m n C 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。 n n An 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次 清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 4 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 种 3 5 C 练习题：某排共有 10 个座
